Bilangan Vampir

Bilangan Vampir

Alloh menciptakan segala macam di alam ini penuh dengan keunikan-keunikan. Hal tersebut menandakan bahwa segala ciptaan Alloh tidak mudah untuk ditiru bahkan memecahkan kode-kode ciptaan Alloh memerlukan pemikiran yang mendalam. Tentunya segala keunikan yang ada di dunia ini dimaksudkan untuk menambah keimanan kita terhadaNya. Salah satu keunikan-keunikan yang ada di alam ini tidak lain dan tidak bukan ada pada matematika pada khususnya pada bilangan-bilangan.

Tulisan berikut akan mengupas keunikan dari bilangan Vampir. Bilangan  vampir  sendiri pertama diperkenalkan oleh Clifford A. Pickover pada tahun 1994. (H. E. Dudeney's book "Amusements in Mathematics" from 1917 contained a variant in a puzzle called "The cab numbers").

Bilangan vampir adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai hasil kali dua buah bilangan (disebut taring) yang tersusun dari angka dan jumlah angka yang sama sebagai vampir. Sebagai contoh:

1827000 = 210×8700

Sebuah bilangan vampir sejati adalah bilangan vampir yang ditulis dengan dua taring yang memiliki angka dan jumlah angka yang sama dan kedua taring tersebut tidak berakhir dengan bilangan nol. Sebagai contoh:

1827 = 21×87

Pada saat ini semua bilangan vampir atau sebagian bilangan vampir secara implisit dapat dikatakan benar. Akan tetapi, untuk membuktikan bahwa semua bilangan vampir itu benar adanya harus mencoba angka demi anngka dengan banyak digit ataupun ditentukan keumuman (secara aljabar) dari bilangan vampir tersebut.

Sebuah bilangan vampir prima adalah bilangan vampir sejati dimana taring-taringnya adalah faktor prima. Lihat bilangan-bilangan vampir berikut.

>> 7 contoh bilangan vampir dengan 4 angka:

1260 = 21×60

1395 =15×93

1435=35×41

1530=30×51

1827=21×87

 2187=27×87

6880=80×86

>>>5 contoh bilangan vampir prima dengan 6  angka:

117.067=167×701

124.483=281×443

146.137=317×461

371.893=383×971

536.539=563×953

Kongruensi Modulo 9 Pada Bilangan Vampir

Pete Hartley menemukan teori penting tentang bilangan vampir yaitu “Jika x.y  adalah bilangan vampir maka x.y == x + y (mod 9)”.

Bukti:

Misalkan mod sebagai operator modulo biner dan d(x) adalah jumlah angka desimal dari x. Sehingga sering dikenal d(x) mod 9 = x mod 9, untuk semua x, sebagai contoh:

Bilangan 10, jumlah angka desimal ada 1+0 =1 maka 10= d(1)= 1 mod 9

Bilangan 22, jumlah angka desimal 2+2 = 4 maka 22= d(4)= 4 mod 9

Bilangan 37, jumlah angka desimal 3+7 = 10, 1+0=1 maka 37= d(1)= 1 mod 9

dan seterusnya.

Asumsikan x.y adalah bilangan vampir yang berisikan angka-angka yang sama seperti x dan y. Sehingga d(x,y) = d(x) + d(y). Hal ini menyebabkan,

 (x.y) mod 9  = d(x.y) mod 9

= { d(x)+ d(y)} mod 9

= { d(x) mod 9 + d(y) mod 9} mod 9

= ( x  mod 9 + y mod 9}

= ( x + y ) mod 9 

Sebagai contoh bilangan vampir 1435=35×41

1435, jumlah angka desimal ada 1+4+3+5=1+3 = 4 maka 1435= d(4)= 4 mod 9

35, jumlah angka desimal ada 3+5 = 8 maka 35= d(8)= 8 mod 9

41, jumlah angka desimal ada 4+1 = 5 maka 41= d(5)= 5 mod 9

d(9)+ d(5)=  9 mod 9+ 5 mod 9 = (8+5) mod 9 = (1+3) mod 9 = 4 mod 9

Solusi dari kekongruenan adalah (x mod 9, y mod 9) di {(0,0), (2,2), (3,6), (5,8), (6,3), (8, 5)}.

Hanya pada kasus (6 dari 81) harus di uji dalam pencarian bilangan vampir pada pengujian x.y untuk nilai yang berbeda dari x dan y.

 

Rasio vampir adalah perbandingan bilangan vampir n-digit dengan bilangan bulat n-digit dan bukan rasio tes yang dilakukan.

Persamaan vampir semua persamaan Pembentuk Vampir  = Taring1 • Taring2, yaitu setiap jumlah  bilangan vampir untuk setiap pasangan taring berbeda berbeda.

  

15 Bilangan Vampir dengan tepat 2 Pasang Taring
125460 = 204 · 615 = 246 · 510	11930170 = 1301 · 9170 = 1310 · 9107
12054060 = 2004 · 6015 = 2406 · 5010	12417993 = 1317 · 9429 = 1347 · 9219
12600324 = 2031 · 6204 = 3102 · 4062	12827650 = 1826 · 7025 = 2075 · 6182
13002462 = 2031 · 6402 = 3201 · 4062	22569480 = 2649 · 8520 = 4260 · 5298
23287176 = 2673 · 8712 = 3267 · 7128	26198073 = 2673 · 9801 = 3267 · 8019
26373600 = 3600 · 7326 = 3663 · 7200	26839800 = 2886 · 9300 = 3900 · 6882
46847920 = 4760 · 9842 = 6290 · 7448	61360780 = 7130 · 8606 = 7613 · 8060
1001795850 = 10170 · 98505 = 19701 · 50850

15 Bilangan Vampir Pertama dengan tepat 3 Pasang Taring:
13078260	=	1620 · 8073	=	1863 · 7020	=	2070 · 6318
107650322640	=	140532 · 766020	=	153204 · 702660	=	200760 · 536214
113024597400	=	125100 · 903474	=	152100 · 743094	=	257400 · 439101
119634515208	=	195351 · 612408	=	234156 · 510918	=	285513 · 419016
134549287600	=	138650 · 970424	=	145700 · 923468	=	182900 · 735644
135173486250	=	164175 · 823350	=	328350 · 411675	=	361185 · 374250
138130447950	=	140415 · 983730	=	308913 · 447150	=	330891 · 417450
146083269717	=	167409 · 872613	=	204687 · 713691	=	237897 · 614061
150967233648	=	163548 · 923076	=	327096 · 461538	=	367983 · 410256
216315684000	=	316251 · 684000	=	351000 · 616284	=	421668 · 513000
221089445500	=	225500 · 980441	=	440198 · 502250	=	441980 · 500225
315987404670	=	348705 · 906174	=	446859 · 707130	=	453087 · 697410
463997983680	=	469938 · 987360	=	478380 · 969936	=	493680 · 939876
472812953760	=	629370 · 751248	=	657342 · 719280	=	671328 · 704295
10174695862032	=	1322058 · 7696104	=	1406019 · 7236528	=	1809132 · 5624076

Oleh: Samsul Maarif

Daftar Pustaka

Clifford A. Pickover's original vampire number post from 1994, diakses pukul 18:56 tanggal 17-05-2013.

A 1999 post from Casey Billett ascribing the modulo 9 congruence to Pete Hartley. diakses pukul 19:10 tanggal 17-05-2013.