Math Problems

Mathematical Competition in China, Jilin 2002#1

1.      Interval fungsi  f(x)=^1/2log (x²-2x-3)  dalah monoton naik di. . . .

      A. (-∞,-1)

      B. (1, +∞)

      C. (-∞,1)

      D. (3, +∞)

Jawab:

Pertama kita harus menentukan domain dari fungsi f(x). Dari x²-2x-3>0, kita dapatkan x<-1 dan="" i="" style="mso-bidi-font-style: normal;">x

>3. Sehingga, domain (daerah asal) dari fungsi f(x) didefinisikan (-∞,-1) U (3, +∞). Akan tetapi, untuik u= x²-2x-3= (x – 1)²- 4 monoton turun di (-∞,-1) dan monoton naik di   (3, +∞). Sehingga, f(x)=^1/2log (x²-2x-3)  monoton naik di   (-∞,-1) dan monoton turun di (3, +∞) . Jawaban:A

2.   Jika bilangan real x dan y  memenuhi persamaan ( x+5)² + ( x-2)² = 14², maka nilai minimum unrtuk x² + y² adalah . . .

     A. 2

     B. 1

     C. √3

     D. √2

Jawab:

Kita perlu ingat bahwa jika suatu titik koordinat A(x,y) maka dalam bentuk polarnya adalah (r cos α, r cos α) untuk 0 ≤ α< 2π. Sedangkan (x+5)² + (y-12)² = 14² adalah persaman lingkaran dengan r =14 dan pusat lingkaran (-5, 12). Misalkan x+5 = 14 cos α dan x-12 = 14 cos α, untuk 0 ≤ α< 2π (karena x+5 dan  x-2 adalah titik koordinat pada lingkaran tersebut). Sehingga,

x² + y² = (14 cos α -5)² +(14 sin α +12)²

= 14² cos² α - 140 cos α + 25 + 14²  sin²α + 336sin α + 144

= (14² cos² α +14²  sin²α) - 140 cos α + 336sin α + 169

= 14² (cos² α + sin²α ) + 28 (12sin α -5 cos α) + 169

= 196 + 169 + 28 (12sin α -5 cos α)

= 365+ 28 (12sin α -5cos α)

= 365+ 28.13sin (α – b)

=365+364sin (α – b)

dimana tan b = 5/12. Sehingga x² + y² memiliki nilai minimal 1, dengan                                         α = (3π/2)  + tan^-1(5/12).Sehingga, x = 5/13 dan y= -12/13.

Cara lain yaitu dengan mengkontruksi bangun geometri dari permasalahan diatas. Coba lihat gambar di bawah ini.

 

(x+5)² + (y-12)² = 14² atau x² +y² +10x-24y-27=0 adalah persaman lingkaran dengan r= AC =14 dan pusat lingkaran  A(-5, 12). Ambil titik C sebagai lingkaran baru dengan pusat B(0,0) sehingga persamaan lingkaranya x² + y² = r² dimana r = BC=1. Jawaban: B

Jawab:

Domain dari f(x) yaitu (-∞,0) U (0, +∞). Ketika x adalah anggota bilangan (-∞,0) U (0, +∞) maka kita dabatkan:

Sehingga, f(x) adalah fungsi genap, tapi bukan fungsi ganjil. Jawaban: A

 

Jawab:
 Letak dari titik P pada elips yaitu P(4 cos α, 3 sin α). Panjang P1 dan P2 ke  AB adalah sama panjang, sehingga jarak titik P1 ke AB yaitu:

Maka, jika luas daerah segitiga PAB sama dengan 3, maka jarak titik P1 ke AB akan sama dengan jarak antara P2 dengan AB. Sehingga, terdapat 2 titik P. Untuk lebih jelas lihat gambar berikut: