Friday, June 14, 2013

Hubungan antara Akar-akar dengan Koefisien Sebuah Polinomial


Hubungan antara Akar-akar dengan Koefisien Sebuah Polinomial

Pada pembelajaran kali ini penulis ingin mengeksplorasi hubungan anatara akar-akar sebuah persamaan polinomeial dengan tiap-tiap koefisien persamaan tersebut. Dalam persamaan berbentuk p dengan koefisien derajat tertingginya adalah 1 memenuhi:


xn + p1xn-1 + p2xn-2 + p3xn-3 + p4xn-4 + p5xn-5 + . . . + pn-1xn-5 + pn = 0

dengan memisalkan akar-akar persamaan diata adalah x1,  x2, x3, x4,  . . . , xn.
Untuk itu kita akan mengeksplorasinya dari derajat yang terendah.

Polinomial berderajat 2

Misalkan akar-akar polinomial berderajat yang memenuhi persamaan diatas adalah x1 dan x2, sehingga persamaanya:

          (x - x1) (x – x2) =  0
x2 - x x1xx2 + x1 x2 = 0
x2 – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0

Mengacu dari bentuk umum persamaan polinomial berderajat 2 yaitu,
x2 + p1x2 + p2 = 0, maka:

Jumlah semua akar = x1 +  x2 = -p1
 Perkalian semua akar = x1. x2 = p2 . . . . . . (i)

Polinomial berderajat 3

Misalkan akar-akar polinomial berderajat yang memenuhi persamaan diatas adalah x1, x2, dan x3, sehingga persamaanya:

(x - x1) (x – x2) (x – x3) =  0
(x2 - x x1xx2 + x1 x2) (x – x3) = 0
x3x3x2x1x2 + x1x3xx2x2 + x2x3x + x1x2x - x1x2x3 = 0
x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x - x1x2x3 = 0

Mengacu dari bentuk umum persamaan polinomial berderajat 2 yaitu,
x2 + p1x2 + p2x+ p3 = 0, maka:

Jumlah semua akar = x1 + x2 + x3 = -p1
Jumlah perkalian dua buah akar = x1x2 + x1x3 + x2x3= p2
 Perkalian semua akar = x1. x2. x3 = -p3 . . . . . . (ii)

Polinomial berderajat 4

Misalkan akar-akar polinomial berderajat yang memenuhi persamaan diatas adalah x1, x2, x3 dan x, sehingga persamaanya:

(x - x1) (x – x2) (x – x3) (x – x4) =  0
(x3x3x2x1x2 + x1x3xx2x2 + x2x3x + x1x2x - x1x2x3) (x – x4) = 0
x4x4x3x3x3 + x3x4x2x1x3 + x1x4x2 + x1x3x2x1x3x4xx2x3 + x2x4x2 + x2x3x2x2x3x4x +
                                                                                        x1x2x2x1x2x4xx1x2x3x + x1x2x3x= 0
x4 – (x1 + x2 + x3+ x4)x2 + (x1x2 + x1x3 + x1x4+ x2x3 + x2x4 + x3x4)x – (x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4
                                                                                                                   + x2x3x4)x + x1x2x3x4 = 0

Mengacu dari bentuk umum persamaan polinomial berderajat 2 yaitu,
x4 + p1x3 + p2x2+ p3x + p4  = 0, maka:

Jumlah semua akar = x1 + x2 + x3 + x4 = -p1
Jumlah perkalian dua buah akar = x1x2 + x1x3 + x1x4+ x2x3 + x2x4 + x3x4= p2
Jumlah perkalian tiga buah akar = x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4+ x2x3x4 = -p3
 Perkalian semua akar = x1. x2. x3. x4 = -p3 . . . . . . (iii)

dan seterusnya anda dapat menentukannya untuk polinomial berderajat selanjutnya.
Analogi dengan cara (i), (ii) dan (iii) dan dengan mengacu bentuk umum persamaan polinomial berderajat 2 yaitu,

xn + p1xn-1 + p2xn-2 + p3xn-3 + p4xn-4 + p5xn-5 + . . . + pn-1xn-5 + pn = 0
dengan memisalkan akar-akar persamaan diata adalah x1,  x2, x3, x4,  . . . , xn, maka:

Jumlah semua akar = -p1
Jumlah perkalian dua buah akar = p2
Jumlah perkalian tiga buah akar =  -p3
Jumlah perkalian empat buah akar =  p4
Jumlah perkalian lima buah akar = - p5
dan seterusnya.
 Perkalian semua akar = (-1)npn

Oleh: Samsul Maarif

Referensi
Spiegel, M. 1984. Matematika Dasar. Jakarta: Eirlangga.

No comments:

Post a Comment

Mohon komentarnya....!





Tinggalkan Pesan dan Kesan Anda di Buku Tamu

Google+ Followers