Teorema Ptolemeus

Teorema Ptolemeus

Oleh: Samsul Maarif

Teorema Ptolomius: Jika terdapat segi-4 talibusur, maka jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan sama dengan hasil kali diagonal-diagonalnya.

Sketsa permasalahan:

Diketahui segi-4 ABCD adalah segiempat talibusur dengan AC dan BD diagonal-diagonalnya. Akan ditunjukkan bahwa AC×BD = (AB×CD) + (AD×BC).

Bukti:

Tentukan sebuah titik E pada AC sehingga terbentuk sudut CDE = sudut ADB, seperti tampak pada gambar berikut ini.

Dari gambar maka dapat kita nyatakan bahwa besar sudut CDE = besar sudut ADB…..(i). Perhatikan segitiga DEC dan DAB, karena bessar sudut CDE = besar sudut ADB (pernyataan (i)), besar sudut DAB =  besar sudut ECD (sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama yaitu busur AD) dan besar sudut ADB = besar sudut CED (konsekuensi logis teorema jumlah sudut dalam segitiga), sehingga segitiga DEC sebangun dengan segitiga CDE yang akan berakibat (CE/AB) = (CD/BD) <=> CE×BD = AB×CD…..(ii). Selanjutnya perhatikan segitiga ADE dan BDC, karena besar sudut ADE = besar sudut BDC, besar sudut DAE =  besar sudut DBC (sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama yaitu busur CD) dan besar sudut AED = besar sudut BCD (konsekuensi logis teorema jumlah sudut dalam segitiga), sehingga segitiga ADE sebangun dengan segitiga BDC yang akan berakibat (AE/BC) = (AD/BD) <=> AE×BD = BC×AD…..(iii). Dari pernyataan (ii) dan (iii) maka akan didapatkan AC×BD = (AB×CD) + (AD×BC).■

Baan, MA. De & Bos, J.C,. 1992.  Ilmu Ukur untuk Sekolah Lanjutan tingkat Pertama. Jakarta: Pradnya Paramita.