Bukti Geometri #9

Bukti Geometri #9

Oleh: Samsul Maarif

Masalah yang akan dibuktikan:

Segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan AC = BC. Titik P ada diperpanjangan sisi BC. PE adalah garis tegak lurus terhadap sisi AC dan PD adalah garis tegak lurus terhadap sisi BC. Buktikan bahwa garis tinggi segitiga ABC terhadap sisi AC sama dengan PE – PD.

Sketsa permasalahan:

Diketahui FB: garis tinggi terhadap sisi AC sehingga akan ditunjukkan bahwa BF = PE - PD

Bukti

Titik B noncolinear terhadap sisi AC, maka berdasarkan teorema Playfair maka dapat ditarik secara tunggal garis //AC melalui titik B dan memotong PE di titik G seperti tampak pada gambar berikut.

Perhatikan bahwa besar sudut CBP = 180⁰ – besar sudut B dan besar sudut IBP = 180⁰ – besar sudut B sehingga besar sudut CBP = besar sudut IBP…….(i). Perhatikan pula bahwa besar sudut CBG = besar sudut IBD (saling bertolak belakang)……..(ii). Selanjutnya perhatikan bahwa besar sudut GBP = besar sudut CBP = besar sudut CBG dan besar sudut DBP = besar sudut IBP – besar sudut IBD, sehingga dengan memperhatikan pernyataan (i) dan (ii) didapatkan bahwa besar sudut GBP = besar sudut DBP…..(iii).

Perhatikan segitiga BGP dan segitiga BDP dimana besar sudut GBP = besar sudut DBP (berdasarkan pernyataan (iii)), panjang sisi BP = PB (berimpit) dan besar sudut BPG = besar sudut BPD (dikarenakan besar sudut  GBP = besar sudut DBP dan besar sudut BGP = besar sudut BDP, maka besar sudut BPG = besar sudut BPD), sehingga segitiga BGP kongruen dengan segitiga BDP (Sd.S.Sd) yang akan mengakibatkan panjang sisi GP = DP…..(iv). Selanjutnya perhatikan bahwa segiempat FBGE dimana AF//EG, FE//BG dan besar sdutu EFB = 90⁰ , maka segiempat FBGE adalah suatu persegi panjang sehinggga panjang sisi FB = EG…..(v).

Perhatikan pada sisi PE bahwa panjang sisi EG = PE – GP, dengan memperhatikan pernyatan (iv) dan (v) maka didapatkan BF = PE – PD yang artinya garis tinggi segitiga ABC terhadap sisi AC sama dengan PE – PD.□

Daftar Pustaka

Baan, MA. De & Bos, J.C,. 1992.  Ilmu Ukur untuk Sekolah Lanjutan tingkat Pertama. Jakarta: Pradnya Paramita