Bukti Geometri #10

Bukti Geometri #10

Oleh: Samsul Maarif

Masalah yang akan dibuktikan:

Segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan AC = BC. Titik P pada sisi BC. PE adalah garis tegak lurus terhadap sisi AC dan PD adalah garis tegak lurus terhadap sisi BC. Buktikan bahwa garis tinggi segitiga ABC terhadap sisi AC sama dengan PE + PD.

Sketsa permasalahan:

Diketahui FB: garis tinggi terhadap sisi AC sehingga akan ditunjukkan bahwa BF = PE + PD

Bukti

Titik B noncolinear terhadap sisi AC, maka berdasarkan teorema Playfair dapat ditarik secara tunggal garis //AC melalui titik B dan memotong BF di titik G seperti tampak pada gambar berikut.

Perhatikan PG//AC dopotong oleh FB maka besar sudut AFG = besar sudut PGB (sudut sehadap), sehingga besar sudut PGB = besar sudut PDB….(i). Perhatikan pula bahwa PG//AC dopotong oleh AP maka besar sudut A = besar sudut GPB = besar sudut B…..(ii). Selanjutnya perhatikan segitiga PGB dan segitiga PDB dimana besar sudut GPB = besar sudut PBD (pernyataan (ii)), panjang sisi AB = BA (berimpit) dan besar sudut PBG = besar sudut BPD (karena besar sudut PGB = besar sudut PDB dan besar sudut GPB = besar sudut PBD maka akan berakibat besar sudut PBG = besar sudut BPD), maka segitiga PGB kongruen dengan segitiga PDB yang akan berakibat panjang sisi BG = PD……(iii). Dikarenakan EP//FG dan besar sudut FGB adalah sudut siku-siku maka segiempat EPGF adalah suatu persegi panjanng sehingga panjang sisi EP = FG….(iv). Oleh karena panjang sisi BF = FG + BG maka berdasarkan pernyataan (iii) dan (iv) dapat dipastikan bahwa panjang sisi BF = PE + PD yang artinya garis tinggi segitiga ABC terhadap sisi AC sama dengan PE + PD. □