Apa Saja yang Berbeda dari Segitiga?#2

Apa Saja yang Berbeda dari Segitiga?#2

                                                           Oleh: Samsul Maarif                                        

Melanjutkan pembelajaran sebelumnya yang telah diterangkan dua teorema terkait hal-hal yangberbeda pada segitiga, pembelajaran kali ini akan diterngkan terema-teorema berikutnya tentang hal-hal berbeda pada segitiga. Penulis ingin menyampaikan kepada para pembaca agar memehami dua teorema yang sudah diterangkan sebelumnya pada pembelajaran sebelumnya, karena kedua buah teorema tersebut akan digunakan untuk membuktikan teorema-teorema selanjutnya.

Teorema 3

Panjang sebuah sisi segitiga akan kurang dari jumlah panjang kedua sisi yang lainnya.

Untuk membuktikan teorema ini kita dapat mengambil suatu segitiga sembarang. Perhatikan gambar berikut.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (i) panjang sisi AC < BC +AB,  (ii) panjang sisi AB < AC +BC dan (iii) panjang sisi BC < AB +AC.

Bukti:

(i) Akan ditunjukkan bahwa panjang sisi AC < BC +AB

Berdasarkan axioma 2 Euclid maka kita dapat memperpanjang sisi AB sepanjang BC sehingga sisi BD = BC. Perhatikan gambar berikut:

Selanjutnya kita dapat konstruksi suatu segitiga sama kaki CBD dengan besar sudut BCD = besar sudut BDC, seperti tampak pada gambar berikut.

Perhatikan segitiga ACD dimana besar sudut ACD = besar sudut C + besar sudut BCD > besar sudut CBD, sehingga berdasarkan teorema 2 maka kan berakibat panjang sisi AD > panjang sisi AC. Sehingga karena panjang BD = BC maka dapat dikatakan,

Panjang sisi AD = panjang sisi AB + panjang sisi BC > panjang sisi AC atau terbukti bahwa

panjang sisi AC < BC +BC.

(ii) akan ditunjukan bahwa panjang sisi AB < AC +BC dan (iii) panjang sisi BC < AB +AC.

Tanpa mengurangi keumuman dengan analogi pembuktian yang sama dengan (i) maka dapat dibuktikan bahwa panjang sisi AB < AC +BC dan panjang sisi BC < AB +AC.

Sehingga, dapat disimpulkan terbukti bahwa “panjang sebuah sisi segitiga akan kurang dari jumlah panjang kedua sisi yang lainnya”.

Teorema 4

Jika pada suatu segitiga terdapat sebuah titik interior dan pada titik tersebut dihubungkan dengan suatu ruas garis melalui titik sudut segitiga, maka jumlah panjang kedua ruas garis tersebut akan kurang dari jumlah dua ruas garis pada segitiga tersebut.

Untuk membuktikan teorema tersebut mulailah dengan mengambilsegitiga sembarang dan satu titik interior dan menghubungkanya dengan dua buah titik sudut dengan suatu ruas garis, seperti tampak pada gambar berikut.

Titik P adalah titik interior segitiga yang kemudian dihubungkan suatu ruas garis kepada titik A dan C, akan ditunjukkan bahwa AP + CP < AB + BC.

Bukti

Perpanjanglah sisi CP hingga memotong AB di titik D seperti tampak pada gambar berikut.

Perhatikan segitiga BDC, berdasrkan teorema 3 maka panjang sisi CD < BD + BC sehinggga panjang sisi CP + PD < BD + BC………..(i). Perhatikan pula segitiga ADP, berdasarkan teorema 3 maka panjang sisi AP < AD + PD……….(ii). Berdasarkan pernyataan (i) dan (ii) maka dengan cara menjumlahkan kedua buah pertidaksamaan tersebut didapat,

Panjang sisi CP + PD + AP < BD + BC + AD + PD

Panjang sisi AP + CP < (AD + BD) + BC

Panjang sisi AP + CP < AB + BC

Tanpa mengurangi keumuman dengan analogi cara pembuktian yang sama kita dapat menunjukkan bahwa panjang sisi BP + CP < AB + BC dan panjang sisi AP + BP < AC + BC.

Teorema 4 akan berakibat “jika suatu titik interior dihubungkan suatu ruas garis pada ketiga titik sudut segitiga maka jumlah panjang ketiga ruas garis tersebut akan kurang dari keliling segitiga dan lebih dari setengah keliling segitiga tersebut”. Perhatikan gambar berikut.

P adalah titik interior segitiga yang dihubungkan suatu ruas garis terhadap ketiga buah titik sudut segitiga masing-masing AP, BP dan CP, akan ditunjukka bahwa (i) panjang sisi AP + BP + CP < keliling segitiga ABC, (ii) panjang sisi AP + BP + CP > setengah keliling segitiga ABC.

Bukti:

(i) Akan ditunjukkan bahwa panjang sisi AP + BP + CP < keliling segitiga ABC

Perhatikan segitiga APB, berdasarkan teorema 4 maka panjang sisi AP + BP < AC + BC……(a). Perhatikan pula segitiga BPC, berdasarkan teorema 4 maka panjang sisi BP + CP < AB + AC……(b). Selanjutnya perhatikan segitiga APC, berdasarkan teorema 4 maka panjang sisi AP + CP < AB + BC……(c). Berdasarkan pernyataan (a), (b) dan (c) dengan menjumlahkan ketiga buah pertidaksamaan tersebut didapat

2 (AP + BP + CP) < 2 (AB + BC + AC)

AP + BP + CP < AB + BC + AC

AP + BP + CP < keliling segitiga ABC

(ii) Akan ditunjukkan bahwa panjang sisi AP + BP + CP > setengah keliling segitiga ABC

Perhatikan segitiga APB, berdasarkan teorema 3 maka panjang sisi AP + BP > AB……(a). Perhatikan pula segitiga BPC, berdasarkan teorema 4 maka panjang sisi BP + CP < BC……(b). Selanjutnya perhatikan segitiga APC, berdasarkan teorema 4 maka panjang sisi AP + CP < AC……(c). Berdasarkan pernyataan (a), (b) dan (c) dengan menjumlahkan ketiga buah pertidaksamaan tersebut didapat

2(AP + BP + CP) < AB + BC + AC

AP + BP + CP < (1/2)(AB + BC + AC)

AP + BP + CP < setengah keliling segitiga ABC

Semoga bermanfaat…………………….

Daftar Pustaka

Baan, MA. De & Bos, J.C,. 1992.  Ilmu Ukur untuk Sekolah Lanjutan tingkat Pertama. Jakarta: Pradnya Paramita