Teorema Napoleon

Teorema Napoleon

Teorema Napoleon: Jika segitiga ABC pada masing-masing sisinya dibuat segitiga sama sisi, kemudian dibuat titik pusat P, Q dan R pada masing-masing segitiga sama sisi tersebut, maka segitiga PQR adalah segitiga sama sisi.

Lihat gambar di bawah ini!

 

Sebelum para pembaca membuktikan teorema napoleon tersebut, penulis mengajak para pembaca untuk mengeksplorasinya dengan menggunakan Cabri Geometry untuk meyakinkan teorema tersebut. 

Para pembaca dapat memulainya dengan  mengkontruksi segitiga ABC dengan menggunakan tombol Triangle. Kemudian dengan menggunakan tombol Circel dapat dibuat dua buah dua buah lingkaran pada tiap-tiap sisi segitiga dengan pusat lingkaranya pada titik sudut segitiga jari-jarinya panjang sisi masing-masing. Selanjutnya tentukan titik potong kedua buah lingkaran tersebut dan dengan menggunakan tombol segment buat buat segemen faris dari titik potong lingkaran tersebut ke tiap-tiap sudut segitiga maka terbentuklah tiga buah segitiga sama sisi pada masing-masing sisi segitiga ABC. 

Untuk mempermudah eksplorasi para pembaca yang budiman dapat menghidden lingkaran-lingkaran tersebut supaya tidak menggangu dengan tombol hidden. Untuk membuat titik pusat pada masing-masing-masing segitiga sama sisi cukup dengan membuat garis tinggi pada kedua sisi masing-masing segitiga sama sisi tersebut dengan tombol  perpendicular line Tentukan titik potongnya kemudian dengan tombol triangle buatlah segitiga PQR seperti tampak pada gambar berikut:

 

Selanjutnya para pembaca memulai eksplorasi dengan menentukan panjang sisi-sisi PQ, QR dan PR dengan tombol distence and lenght. Buatlah beberapa kondisi untuk menentukan konjektur anda dengan mendragging masing-masing titik sudut. Jika panjang PQ = QR = PR maka terbukti bahwa bahwa segitiga PQR adalah segitiga sama sisi adalah benar. Berikut kondisi-kondisi yang penulis sajikan.

 

 

 

Dari ketiga kondisi tersebut ternyata PQ=QR=PR sehingga konjektur kita bahwa segitiga PQR adalah segitiga sama sisi memang benar. Untuk membuktikan secara analisis dapat diikuti dengan pembuktian sebagai berikut.

Lihat gambar berikut!

 

Lihat segitiga FBA

segitiga FBA adalah segitiga Sama kaki sehingga besar masing-masing sudutnya adalah 60⁰.

Sifat dari segitiga sama sisi salah satunya adalah garis tinggi merupakan garis bagi sudut. Sehingga,

 

Lihat segitiga ACE

segitiga FBA adalah segitiga Sama kaki sehingga besar masing-masing sudutnya adalah 60⁰.

Sifat dari segitiga sama sisi salah satunya adalah garis tinggi merupakan garis bagi sudut. Sehingga,

 

 

 

 

 

Sehingga dapat didimpulkan jika segitiga ABC pada masing-masing sisinya dibuat segitiga sama sisi, kemudian dibuat titik pusat P, Q dan R pada masing-masing segitiga sama sisi tersebut, maka segitiga PQR adalah segitiga sama sisi.

Oleh: Samsul Maarif