Apa Saja yang Berbeda dari Segitiga?

Apa Saja yang Berbeda dari Segitiga?

                                                           Oleh: Samsul Maarif 

                                        

Pada pembelajaran konsep segitiga di tingkat sekolah pada umumnya hanya menyoroti sifat dan karakteristik segitiga ditinjau dari kesamaan-kesamaan unsur segitiga untuk membangun suatu teorema seperti pada konsep kekongruenan dan konsep kesebangunan dua buah segitiga. Penulis menganggap konsep segitiga yang melibatkan perbedaan sunsur-unsur segitiga kurang dibahas secara khusus dalam pembelajaran konsep segitiga di sekolah. 

Penulis telah melakukan kajian sederhana terhadap kurikulum dan bahan ajar untuk materi segitiga tentang perbedaan unsure suatu segitiga hanya ditumakn pada konsep syarat cukup untuk mengkonstruksi segitiga yaitu suatu segitiga dapat dikonstruksi jika panjang satu sisi kurang dari jumlah panjang sisi yang lainnya.

Itupun terkadang terjadi kesalahan konsep, sebagai contoh: ketika penulis dalam berbagai kesempatan pelatihan guru-guru SD ataupun pelatihan terhadap mahasiswa calon guru, penulis mengajukan sebuah pertanyaan “Andaikan disediakan suatu lidi panjangnya 13 cm dan 10 cm, dapatkah kita membuat suatu segitiga jika diberikan sebuah lidi yang lain dengan panjang 2 cm?”. Hampir setiap peserta pelatihan menjawab dapat dibentuk suatu segitiga karena menganggap bahwa 2 cm < (13+10) cm. Penulis beranggapan bahwa beberapa peserta hanya berpikiran bahwa syarat cukup terbentuknya suatu segitiga secara parsial, padahal syarat cukup dikonstruksinya suatu segitiga berlaku secara integral bahwa jika diambil satu sisi suatu segitiga maka panjang sisi tersebut harus kurang dari jumlah panjang dua sisi yang lainnya. Sehingga, pada kasus yang penulis ajukan para peserta tidak memandang kejadian lain bahwa (10+2) cm < 13 cm dengan artian terdapat satu sisi suatu segitiga lebih dari jumlah dua buah sisi yang lainnya sehingga tidak memenuhi syarat cukup terbentuknya suatu segitiga.

Oleh karena itu, pada kesempatan pembelajaran kali ini penulis ingin membahas beberapa hal terkait perbedaan unsure suatu segitiga beserta akibat-akibatnya yang dalam kurikulum sekolah hal tersbut jarang untuk dibahas. Penulis ingin memulainya dengan beberapa teorema terkait hal-hal yang berbeda pada suatu segitiga.

Teorema 1

Jika pada sebuah segitiga panjang dua sisinya berbeda maka sudut yang besar akan menghadap sisi yang panjang.

Untuk membuktikan teorema ini kita dapat mengambil suatu segitiga sembaeranga. Perhatikan gambar berikut.

Segitiga ABC di atas adalah suatu segitiga sembarang dengan panjang sisi BC > panjang sisi AC. Akan ditunjukkan bahwa besar sudut A > besar sudut B.

Bukti:

Karena panjang sisi BC > panjang sisi AC maka dapat ditentukan suatu titik D pada BC sehingga panjang sisi AC = sisi CD. Kemudian dapat ditentukan suatu segitiga sama kaki ACD. Perhatikan gambar berikut.

 

Perhatikan segitiga ADC adalah suatu segitiga sama kaki sehingga besar sudut CAD = besar sudut CDA……(i). Perhatikan juga bahwa besar sudut CDA + besar sudut ADB =180⁰  (saling berpelurus) sehingga besar sudut ADB = 180⁰  - besar sudut CDA. Atas dasar pernyataan (i) maka dapat dikatakan bahwa besar sudut ADB = 180⁰  - besar sudut CAD …..(ii).

Selanjutnya perhatikan segitiga ABD dimana,

Besar sudut DAB + besar sudutADB + besar sudut B = 180⁰ (jumlah sudut dalam segitiga).

Dengan memperhatikan pernyataan (ii) maka dapat dikatakan bahwa,

Besar sudut DAB + 180⁰  - besar sudut CAD + besar sudut B = 180⁰, sehinga

Besar sudut B = besar sudut CAD - besar sudut DAB. Sedangkan kita ketahui bahwa besar sudut A = besar sudut CAD + besar sudut DAB. Sehingga, dapat disimpulkan bahwa

besar sudut A = besar sudut CAD + Besar sudut DAB > besar sudut CAD - Besar sudut DAB = besar sudut B. Dengan kata lain terbukti bahwa besar sudut A > besar sudut B.

Teorema2

Jika pada sebuah segitiga dua sudutnya berbeda maka sisi yang panjang akan menghadap sudut yang besar.

Teorema yang kedua merupakan konvers dari teorema 1. Untuk membuktikan teorema yang kedua kita dapat mengambil segitiga sembarang, seperti terliat pada gambar berikut.

Segitiga ABC di atas adalah suatu segitiga sembarang dengan besar sudut A > besar sudut B. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa panjang sisi BC > panjang sisi AC.

Bukti Kontradiksi

Misalkan panjang sisi BC tidak lebih dari panjang sisi AC maka menurut konsep trikotomi bilangan real terdapat dua kemungkinan yaitu (i) panjang sisi BC = panjang sisi AC dan (ii) panjang sisi BC < panjang sisi AC.

(i) Akan ditunjukkan bahwa panjang sisi BC = panjang sisi AC

Karena panjang sisi BC = panjang sisi AC maka dapat dikatakan bahwa segitiga ABC adalah suatu segitiga sama kaki sehingga besar sudut A = besar sudut B. Hal tersebut bertentangan dengan apa yang diketahui yaitu besar sudut A > besar sudut B. Artinya asumsi bahwa panjang sisi BC = panjang sisi AC adalah salah.

(ii) Akan ditunjukkan bahwa panjang sisi BC < panjang sisi AC.

Karena panjang sisi BC < panjang sisi AC, maka berdasarkan teorema 1 akan berakibat besar sudut A < besar sudut B. Hal tersebut bertentangan dengan apa yang diketahui yaitu besar sudut A > besar sudut B. Artinya asumsi bahwa panjang sisi BC < panjang sisi AC adalah salah.

Dari pernyataan (i) dan (ii) maka dapat disimpulkan bahwa panjang sisi BC > panjang sisi AC.

Demikian pembelajaran untuk kesempatan kali ini, adapun pembahasan untuk teorema-teorema yang lain terkait hal yang berbeda pada segitiga insya Alloh dapat kita lanjutkan dalam kesempatan lain. Terima kasih…..semoga bermanfaat.........

Daftar Pustaka

Baan, MA. De & Bos, J.C,. 1992.  Ilmu Ukur untuk Sekolah Lanjutan tingkat Pertama. Jakarta: Pradnya Paramita