Bukti Geometri #18

Bukti Geometri #18

Oleh: Samsul Maarif

Masalah yang akan dibuktikan:

Jika pada sebuah segitiga ABC dibuat garis sehingga memotong sisi segitiga AB, BC dan AC masing-masing di titik R, Q dan P. Buktikan bahwa (AP/PC)×(CQ/BQ) ×(RB/RA) = -1. (Teorema Menelaus)                                  

Sketsa permasalahan:

Bukti

Perhatikan bahwa titik B noncoliner terhadap garis AC sehingga menurut teorema Playfair dapat ditarik secara tungga garis // AC melalui titik B dan memotong PR di titik S, seperti tampak pada gambar berikut.

Perhatikan segitiga BRS dan segitiga ARP dimana besar sudut SBR = sudut PAR (sudut sehadap), besar sudut BSR = sudut APR (sudut sehadap) dan besar sudut BRS = sudut ARP (berimpit), berdasarkan prinsip kesebangunan dua buah segitiga maka segitiga BRS sebangun dengan segitiga ARP yang berakibat BS/AP = RB/RA …..(i). Perhatikan juga segitiga BQS dan segitiga PQC dimana besar sudut BQS = sudut PQC (sudut bertolak belakang), besar sudut BSQ = sudut CPQ (sudut dalam berseberangan) dan besar sudut QBS = sudut BCQ (konsekuensi logis teorema jumlah sudut dalam segitiga), berdasarkan prinsip kesebangunandua buah segitiga maka segitiga BQS sebangun dengan segitiga PQC yang berakibat BQ/CQ = BS/PC <=> CQ/BQ = PC/BS …..(ii). Dari pernyataan (i) dan (ii) dapat ditentukan (AP/PC)×(CQ/BQ) ×(RB/RA) = (AP/PC) × (PC/BS) × (BS/AP) =1. Selanjutnya perhatikan bahwa garis yang memotong sisi segitiga tersebu dapat memotong sisi AB bukan diperpanjanganya atau dengan kata lain lawan dari RB yaitu –RB sehingga akan didapat,

(AP/PC)×(CQ/BQ) ×(-RB/RA) = (AP/PC) × (PC/BS) × {-(AP/BS)} = -1, maka dapat disimpulkan bahwa (AP/PC)×(CQ/BQ) ×(RB/RA) = (AP/PC) × (PC/BS) × (AP/BS) = -1. □

Daftar Pustaka

Fogiel. 1987.  The Geometry Problem Solver Plane, Solid and Analytic. New York: Research and Education Association 505 Eight Avenau.