LINKING GEOMETRY AND ALGEBRA IN THE SCHOOL MATHEMATICS CURRICULUM

LINKING GEOMETRY AND ALGEBRA

IN THE SCHOOL MATHEMATICS CURRICULUM

(HUBUNGAN GEOMETRI DAN ALJABAR

PADA KURIKULUM MATEMATIKA SEKOLAH)

Review jurnal dari Keith Jones (2009)

PENDAHULUAN

Tulisan ini bisa saja berhak Menghubungkan Aljabar dan Geometri dalam Matematika Sekolah Kurikulum. Setelah semua, aljabar tidak datang sebelum geometri dalam kamus.

Namun ada beberapa alasan mengapa hal itu mungkin menguntungkan untuk memulai makalah ini dengan dua komponen matematika dalam urutan abjad sebaliknya: ia berganti perhatian pada geometri (bukannya memperkuat kecenderungan untuk aljabar untuk mendominasi kurikulum sekolah matematika); itu berarti geometri yang dapat memberikan wawasan tentang aspek-aspek lain matematika, dan itu adalah indikasi tentang bagaimana perkembangan teknologi digital telah melihat kebangkitan kepentingan dalam geometri dan teknik untuk memvisualisasikan matematika (Jones, 2000, 2002). Untuk alasan ini, dan banyak lagi, fokus dari makalah ini adalah menghubungkan geometri dan aljabar-dan bagaimana, melalui seperti menghubungkan, kurikulum matematika (dan karenanya mengajar dan pengalaman belajar) mungkin diperkuat.

Jones, K. (2010), geometri Menghubungkan dan aljabar dalam kurikulum sekolah matematika. Dalam Z.

Usiskin, K. Andersen & N. Zotto (Editor) Tren Masa Depan dalam Aljabar Kurikuler Sekolah dan

Geometri. Charlotte, NC: Infoage. pp203-215. ISBN: 9781607524724

HUBUNGAN ANTARA GEOMETRI DAN ALJABAR

Aljabar itu bisa cenderung mendominasi sekolah matematika kurikulum yang jelas dalam banyak hal, salah satu contoh karena merupakan karya Matematika Nasional AS Penasehat yang diarahkan untuk fokus pada "persiapan siswa untuk masuk ke dalam, dan sukses dalam, aljabar" ( US Panel Matematika Penasihat Nasional, 2008, hal 8). Namun patut merenungkan kata-kata orang-orang seperti Coxeter, Bell, dan Atiyah (sebuah ABC matematikawan terkenal, diambil dalam urutan abjad terbalik). Itu adalah Coxeter, yang geometri terkenal, yang menjawab dengan saran berikut ketika ditanya apa yang akan paling meningkatkan matematika tingkat menengah atas atau perguruan tinggi mengajar: "Saya pikir, dengan berhati-hati, kita mungkin bisa melakukan jumlah yang sama kalkulus dan aljabar linier dalam sedikit waktu, dan memiliki beberapa waktu tersisa untuk geometri baik "(Coxeter dikutip dalam Logothetti dan Coxeter, 1980).

Ahli matematika Eric Bell mencatat bahwa "Dengan vaster banyak literatur daripada aljabar dan aritmatika gabungan, dan setidaknya sebagai yang luas seperti yang analisis, geometri adalah rumah harta kaya lebih banyak hal menarik dan setengah terlupakan, yang generasi bergegas memiliki tidak ada waktu luang untuk menikmati, daripada divisi lain matematika "(Bell dikutip dalam Coxeter dan Greitzer 1967, p. 1).

Pada nya Fields Kuliah di Matematika Dunia Tahun 2000 Simposium (Toronto, Kanada, Juni 7-9, 2000), matematikawan dirayakan Michael Atiyah berpendapat bahwa intuisi "... ruang atau persepsi spasial adalah alat yang sangat kuat dan itulah sebabnya geometri sebenarnya seperti bagian kuat matematika-tidak hanya untuk hal-hal yang jelas geometris, tapi bahkan untuk hal-hal yang tidak. Kami mencoba untuk menempatkan mereka ke dalam bentuk geometri karena yang memungkinkan kita untuk menggunakan intuisi kita. intuisi kita adalah alat kita yang paling kuat "(Atiyah, 2001).

Dalam sejarah matematika ada, tampaknya, merupakan hubungan agak (dan kadang-kadang) gelisah antara geometri dan aljabar (Atiyah, 2001; Charbonneau, 1996; Giaquinto, 2007; Kvasz, 2005). Menurut Atiyah (2001), mendasar untuk apa yang bisa tampak seperti dikotomi adalah bahwa "aljabar berkaitan dengan manipulasi dalam waktu, dan geometri berkaitan dengan ruang. Ini adalah dua aspek ortogonal di dunia, dan mereka mewakili dua titik pandang yang berbeda dalam matematika. Jadi argumen atau dialog antara matematikawan di masa lalu tentang kepentingan relatif dari geometri dan aljabar merupakan sesuatu yang sangat, sangat mendasar ". Namun sementara aljabar memberikan teknik kuat untuk matematika, Atiyah melihat bahaya bahwa "saat Anda melewati ke dalam perhitungan aljabar, pada dasarnya Anda berhenti berpikir, Anda berhenti memikirkan geometris, Anda berhenti berpikir tentang arti".

Ini adalah beberapa alasan untuk berfokus pada menghubungkan geometri dan aljabar, untuk mengakui peran penting yang telah berpikir geometris dalam matematika, dan untuk memperkuat pengajaran dan pembelajaran matematika melalui menemukan cara-cara membangun pada intuisi spasial siswa dan persepsi spasial. Bahwa hal itu tetap penting untuk melakukan hal-hal mungkin menduga dari mengingat kasus kurikulum sekolah matematika di Inggris.

MATEMATIKA SEKOLAH KURIKULUM:

KASUS INGGRIS

Pengenalan, pada tahun 1988, dari kurikulum nasional hukum di Inggris disemen praktek yang ada Inggris bahwa "ketika sedang nyaman untuk memecah matematika turun ... [ke daerah-daerah seperti nomor, aljabar, geometri, statistik] .., penting untuk diingat bahwa mereka tidak berdiri secara terpisah dari satu sama lain (Inggris DES, 1988, p. 3). Dengan cara ini, matematika di sekolah Inggris umumnya disajikan secara terintegrasi, meskipun siswa mungkin mengalami diet kurikulum matematika diajarkan sebagai serangkaian topik yang terpisah (aljabar, geometri, dan sebagainya) dari berbagai panjang (dari mungkin empat sampai enam minggu masing-masing). Sejalan dengan pengenalan kurikulum nasional hukum, sistem ujian nasional bagi siswa usia 7, 11, dan 14 adalah menghasut, menambah ujian nasional yang ada di 16 dan 18.

Dalam periode 1995-2000, bentuk kurikulum wajib dan pengujian nasional menjadi lebih dan lebih bercokol, mengakibatkan peningkatan dalam bentuk akuntabilitas sekolah melalui penerbitan, misalnya, "liga tabel" sekolah (berdasarkan nasional mereka hasil tes). Pada saat ini, juga, perbandingan internasional seperti TIMSS mulai berdampak meningkat; begitu banyak sehingga Pemerintah Inggris meluncurkan Berhitung Strategi Nasional pada tahun 1998 (Departemen Pendidikan dan Ketenagakerjaan, 1998a, 1998b, 1999). Strategi berhitung berusaha untuk mengatasi kelemahan-kelemahan yang dirasakan dalam pengajaran matematika, khususnya di tingkat sekolah dasar, dan berfokus terutama pada keterampilan perhitungan dan komputasi. Geometri menerima hampir tidak menyebutkan (Jones & Mooney, 2003). Pada saat yang sama, ada muncul kekhawatiran tentang matematika mengajar di tingkat sekolah menengah, khususnya mengenai kekurangan yang dirasakan dalam persiapan untuk bukti di tingkat University (London Mathematical Society, 1995; Engineering Council, 1999).

Selama periode ini, Komisi Internasional Matematika Instruksi (ICMI) studi pengajaran dan pembelajaran geometri sedang berlangsung (Mammana dan Villani, 1998), dengan, antara isu-isu lainnya, suatu pertimbangan hubungan antara pendekatan deduktif dan intuitif untuk memecahkan masalah geometri (Jones, 1998) dan sifat dan peran bukti dalam konteks perangkat lunak geometri dinamis (Hoyles dan Jones, 1998).

Dalam periode 2000-2005, kurikulum wajib bagi Inggris direvisi. Revisi kurikulum matematika termasuk ketentuan lebih eksplisit tentang bukti, dan beberapa dorongan lebih lanjut untuk link dalam matematika dan di seluruh mata pelajaran. Nasional pengujian lanjutan dalam banyak bentuk yang sama, dengan akuntabilitas sekolah dalam bentuk tabel liga sekolah dipublikasikan di media nasional menjadi lebih tertanam. Strategi berhitung nasional diperpanjang menjadi sekolah menengah sebagai strategi matematika nasional (Departemen Pendidikan dan Ketenagakerjaan, 2001).

Selama periode ini, Inggris Royal Society dan Dewan Bersama Matematika menghasut sebuah kelompok kerja pada pengajaran dan pembelajaran geometri dari usia 11 sampai 19 (Royal Society, 2001). Laporan kelompok kerja ini menekankan pentingnya jauh geometri dalam maupun di luar kurikulum matematika sekolah dan disambut secara luas. Di antara tema laporan itu penekanan pada conjecturing dan membuktikan, tentang pentingnya berpikir spasial dan visualisasi, plus manfaat menghubungkan geometri dengan daerah lain matematika, dan peran kuat dari teknologi digital. Sejumlah rekomendasi laporan itu sudah berlaku dalam sistem sekolah Inggris, dengan beberapa yang diterangi melalui prakarsa Pemerintah Inggris pada aljabar dan geometri (Kualifikasi dan Kurikulum Otoritas, 2004). Inisiatif ini disponsori enam proyek pengembangan kurikulum sederhana, dengan laporan keseluruhan menekankan bahwa "membuat hubungan antara konsep-konsep matematika yang berbeda adalah penting untuk mengembangkan pemahaman [matematika]" (ibid, hal 25). Laporan tersebut, dalam meringkas enam proyek individu, menawarkan dua saran cara menghubungkan geometri dan aljabar, yang satu untuk mengeksploitasi kemampuan perangkat lunak geometri dinamis untuk menyediakan cara novel visualisasi hubungan aljabar, yang kedua yang menggunakan pendekatan yang berbeda untuk mengatasi masalah yang sama. cara-cara seperti menghubungkan geometri dan aljabar diilustrasikan di bawah ini.

Sejak tahun 2005, Inggris telah melakukan perubahan kurikulum wajib nya lagi. Kali ini, sedangkan mendirikan sekolah "subjek" tetap, ada kurang penekanan pada menentukan kurikulum dalam hal subyek (Kualifikasi dan Kurikulum Otoritas, 2005). Meskipun demikian, sistem ujian nasional dan akuntabilitas sekolah bercokol tetap (dengan penggunaan terus tabel liga) meskipun peningkatan jumlah bukti menunjukkan sistem seperti kurikulum menyempit (untuk rezim pengujian) dan dari situ menghambat inovasi dalam kurikulum dan batas otonomi profesional guru '(untuk gambaran negara matematika mengajar di Inggris, lihat Ofsted, 2008).

Pada saat ini, studi ICMI 17 pada teknologi diperiksa, antara lain, desain teknologi digital untuk geometri yang berbeda (Jones, Mackrell, & Stevenson, 2009), dan proyek yang dibiayai Uni Eropa pada ajaran geometri tiga dimensi (christou , Jones, Mousoulides, & Pittalis, 2006) dan pengajaran kalkulus dengan perangkat lunak geometri dinamis (Zachariades, Jones, Giannakoulias, Biza, Diacoumopoulos, & Souyoul, 2007).

Semua ini menunjukkan bahwa sementara perbandingan internasional prestasi matematika dapat menyebabkan pemerintah yang berkomitmen untuk menerapkan kurikulum yang ketat rezim undangan dan pengujian siswa, hal ini bisa terjadi bahwa laporan dari badan luar dan dari penelitian dapat memiliki pengaruh seperti itu, dari waktu ke waktu, beberapa mulai rekening yang akan diambil kurang terwakili aspek dari kurikulum matematika.

PEMBUATAN SAMBUNGAN ANTARA BERBEDA KONSEP MATEMATIKA

Sebagai laporan QCA pada aljabar dan geometri (Kualifikasi dan Kurikulum Otoritas, 2004) menunjukkan, salah satu cara untuk menghubungkan geometri dan aljabar adalah untuk memanfaatkan kemampuan perangkat lunak geometri dinamis untuk menyediakan cara novel memvisualisasikan hubungan aljabar. Sebagai ilustrasi, guru di sekolah Hampshire (di Inggris) bekerja pada sebuah proyek di mana murid-murid mereka menggunakan perangkat lunak geometri dinamis untuk plot fungsi kuadrat yang cocok dengan penerbangan dari bola basket, menyediakan siswa mereka dengan tangan-on pengalaman tentang bagaimana berbagai aljabar koefisien mempengaruhi bentuk grafik - seperti yang diilustrasikan pada Gambar 1.

Gambar 1. Merencanakan lintasan bola basket

Cara lain untuk menghubungkan geometri dan aljabar adalah dengan menggunakan pendekatan yang berbeda untuk mengatasi masalah yang sama. Untuk menggambarkan hal ini, mempertimbangkan klaim sering diulang-ulang bahwa salah satu masalah tertua di teori bilangan adalah untuk menemukan Tripel Pythagoras, tiga kali lipat dari bilangan bulat (a, b, c) yang memenuhi hubungan Pythagoras a + b = c. Namun jika jurus dipertahankan bahwa ini adalah semata-mata masalah dalam teori bilangan, maka salah satu hasil yang mungkin penghilangan hubungan antara Tripel Pythagoras dan ukuran integer dari jari-jari incircle dari sebuah segitiga siku-siku. Meskipun tidak ingin memberi terlalu banyak pergi kepada siapa pun terbiasa dengan konstruksi diilustrasikan pada Gambar 2, menggunakan geometri dinamis untuk membangun gambar dan menyeret simpul segitiga ke integer nilai dari sisi segitiga akan menyarankan sambungan ke nilai integer jari-jari incircle tersebut. Dengan, dengan cara ini, konjektur teorema yang dihasilkan, maka sejumlah kecil aljabar mungkin cukup untuk membuktikan teorema tersebut.

Gambar 2. Pythagoras tiga kali lipat dan nilai-nilai integer dari jari-jari yang incircle

Perlu dicatat bahwa, dalam membuat hubungan antara konsep-konsep matematika yang berbeda, baik dari pendekatan digambarkan dalam bagian kertas yang memanfaatkan teknologi digital.

KEKUATAN GEOMETRI UNTUK DIBAWA KONTEMPORER

MATEMATIKA UNTUK KEHIDUPAN

Sebuah kejadian akrab bagi guru matematika di seluruh dunia adalah siswa didengar untuk menanyakan tentang manfaat dari apa pun bagian dari matematika mereka belajar. Tidak diragukan lagi guru terus merancang upaya inventif untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, namun satu hal yang mungkin bisa membantu adalah mempertimbangkan bagaimana kekuatan geometri dapat membawa matematika kontemporer untuk hidup; contoh termasuk gelembung ganda, lubang hitam, dan bendera.

Gambar 3. Gelembung standar ganda volume yang sama

© John M Sullivan

Sebuah gelembung ganda adalah sepasang gelembung yang berpotongan dan dipisahkan oleh sebuah membran dibatasi oleh persimpangan, seperti digambarkan pada Gambar 3. Sudah menduga bahwa dua bidang parsial radius yang sama yang berbagi batas dari disk datar memisahkan dua volume udara menggunakan luas permukaan total yang kurang dari perikatan lainnya. Kasus ini sama-volume terbukti pada tahun 1995. Ketika gelembung

Gambar 4. Penggabungan lubang hitam

© NASA

tidak sama dalam ukuran, telah ditunjukkan bahwa batas memisahkan yang meminimalkan total luas permukaan itu sendiri merupakan bagian dari suatu bola. Sesuai dugaan tentang gelembung triple tetap terbuka. Untuk informasi lebih lanjut tentang masalah gelembung seperti itu, lihat Brubaker et al (2008). Pada tahun 2006, para ilmuwan NASA mencapai terobosan dalam pemodelan komputer yang memungkinkan mereka untuk mensimulasikan apa gelombang gravitasi dari penggabungan lubang hitam tampak seperti (NASA, 2006). Simulasi tiga dimensi, diilustrasikan oleh Gambar 4, adalah perhitungan astrofisika terbesar yang pernah dilakukan pada superkomputer NASA.

Desain bendera kadang-kadang disebutkan dalam kelas sekolah matematika, mungkin selama topik simetri. Namun pemodelan pergerakan bendera matematis adalah kepentingan untuk matematikawan tertarik dalam sistem dinamis (matematika tersebut melibatkan solusi analitik, asimtotik dan numerik non-linear persamaan diferensial parsial integro-tunggal dengan Cauchy kernel).

Gambar 5: bendera Amerika berkibar-kibar

Dengan cara ini, kekuatan geometri dapat digunakan untuk membawa matematika kontemporer untuk hidup. Menyebutkan hal-hal di kelas matematika mungkin berarti bahwa pelajar matematika terlihat berbeda pada gelembung, entitas astronomis, dan bendera.

LOOKING ATAS DEPAN

Di Inggris, kurikulum baru untuk sekolah mulai dilaksanakan pada bulan September 2008. Ini kurikulum baru ini dimaksudkan untuk "memberikan fleksibilitas yang lebih besar sekolah untuk menyesuaikan dengan kebutuhan belajar peserta didik mereka '" dan dengan demikian ada "isi pelajaran kurang ditentukan" (QCA, 2007, hal 4). Sementara siswa masih diajarkan "pengetahuan subjek penting", kurikulum baru "saldo subjek pengetahuan dengan konsep-konsep kunci dan proses-proses yang mendasari disiplin setiap subyek"

Gambar 6: kunci konsep dan proses dalam kurikulum baru untuk Inggris

(QCA, 2009). Dari segi matematika, ini "konsep-konsep kunci dan proses" yang ditetapkan dalam Gambar 6.

Ini meningkatnya fokus pada konsep dan proses memberikan peluang baru untuk memastikan bahwa potensi penuh pendekatan geometrik dan aljabar digunakan untuk kepentingan sejati belajar siswa. Sudah apa yang dapat muncul sebagai kecenderungan yang berlawanan geometri dan aljabar sedang kabur dalam matematika. Sebagai contoh, Artin, salah satu algebraists terkemuka dari abad ke-20, melahirkan penggunaan kontemporer dari aljabar geometrik panjang melalui bukunya yang judul (Artin, 1957). aplikasi aljabar geometri kini termasuk visi komputer, biomekanik dan robotika, dan dinamika spaceflight. Lalu ada geometri aljabar, studi tentang geometri yang berasal dari aljabar. Ini menempati tempat sentral dalam matematika kontemporer dan memiliki hubungan konseptual berganda dengan berbagai bidang seperti analisis kompleks, topologi, dan teori bilangan.

Istilah ini concinnity paling sering digunakan untuk penguat yang harmonis atau tujuan dari berbagai bagian dari suatu karya seni (dengan umumnya semakin tinggi bentuk seni, semakin tinggi tingkat concinnity). Namun concinnity berasal dari bahasa Latin

concintas, yang berarti terampil mengumpulkan, dan dapat berlaku untuk setiap objek atau situasi (meskipun ini paling sering digunakan dalam diskusi tentang musik di mana contoh concinnity mungkin ketika berbagai bagian dari sebuah karya musik-melodi, harmoni, irama , pada jadi on-memperkuat satu sama lain). Di masa depan, kita bisa mencari concinnity lebih besar dalam kurikulum matematika, terutama dalam hal penguatan / harmonis tujuan dari pemikiran matematis melalui menghubungkan geometri dan aljabar. Pendekatan seperti itu mungkin tidak didukung oleh (2007) Giaquinto pandangan bahwa, dari perspektif epistemologis, "kontras aljabar-geometri, sehingga jauh dari sebuah dikotomi, merupakan sesuatu yang lebih seperti spektrum".

KOMENTAR PENUTUP

Sebagai kesimpulan, ada baiknya lebih lanjut merenungkan kata-kata Coxeter, Bell, dan Atiyah. Sebuah concinnity yang lebih besar dalam kurikulum matematika melalui menghubungkan geometri dan aljabar mungkin memungkinkan kita, sebagai Coxeter menyarankan, untuk "melakukan jumlah yang sama kalkulus dan aljabar linier dalam waktu yang lebih, dan memiliki beberapa waktu yang tersisa untuk geometri baik" (dikutip dalam Logothetti dan Coxeter, 1980). Mengingat bahwa, seperti Bell berpendapat, "geometri adalah rumah harta yang lebih kaya ... daripada divisi lain matematika "(dikutip dalam Coxeter dan Greitzer 1967, p. 1), ini menunjuk pada bagaimana geometri dapat menjadi seperti sumber yang kaya ide untuk mengajar pemikiran matematis. Terlebih lagi, sebagai Atiyah menunjukkan, "geometri sebenarnya seperti bagian kuat matematika-tidak hanya untuk hal-hal yang jelas geometris, tapi bahkan untuk hal-hal yang tidak" (Atiyah, 2001).

Sebagai Atiyah (1982) menaruhnya "Implikasi pendidikan ini adalah jelas. Kita harus bertujuan untuk membina dan mengembangkan kedua mode berpikir. Ini adalah kesalahan untuk bergantung satu dengan mengorbankan yang lain dan saya menduga geometri yang telah menderita dalam beberapa tahun terakhir. Keseimbangan yang tepat secara alami subjek untuk diperdebatkan rinci dan harus bergantung pada tingkat dan kemampuan siswa yang terlibat. Titik utama yang saya telah mencoba untuk menyeberang adalah geometri yang tidak begitu banyak cabang matematika tetapi cara berpikir yang meresapi semua cabang ".

Usiskin (2004) mengatakan seperti ini "jiwa matematika mungkin terletak dalam geometri, tetapi aljabar adalah jantung"-dan, tentu saja, orang perlu baik hati dan jiwa. Untuk setelah semua, seperti yang umum dikenal, tanpa geometri, hidup ada gunanya.

DAFTAR PUSTAKA

Artin, E. (1957). Geometric algebra. New York: Wiley.

Atiyah, M. (1982). What is geometry? Mathematical Gazette, 66(437), 179-184

[reprinted in Pritchard, C. (Ed) (2003). The changing shape of geometry:

Celebrating a century of geometry and geometry teaching. Cambridge:

Cambridge University Press, pp24-29].

Atiyah, M. (2001). Mathematics in the 20th Century, American Mathematical

Monthly, 108(7), 654-666.

Brubaker, N. D., Carter, S., Evans, S. M., Kravatz, D. E., Linn, S., Peurifoy, S. W.,

& Walker, R. (2008). Double bubble experiments in the three-torus. Math

Horizons, 15(4), 18-21.

Charbonneau, L. (1996). From Euclid to Descartes: Algebra and its relation to

geometry. In N. Bednarz, C. Kieran, & L. Lee (Eds.), Approaches to algebra:

Perspectives for research and teaching. (pp. 15-37). Dordrecht: Kluwer.

Christou, C., Jones, K., Mousoulides, N., & Pittalis, M. (2006). Developing the

3DMath dynamic geometry software: Theoretical perspectives on design.

International Journal of Technology in Mathematics Education, 13(4), 168-174.

Coxeter, H. S. M., & Greitzer, S. L. (1967). Geometry revisited. New York:

Mathematical Association of America.

Department for Education and Employment (DfEE). (1998a). Numeracy matters:

The preliminary report of the Numeracy Task Force. London: DfEE.

Department for Education and Employment (DfEE). (1998b). The implementation

of the national numeracy strategy: The final report of the Numeracy Task Force.

London: DfEE.

Department for Education and Employment (DfEE). (1999). The national numeracy

strategy: Framework for teaching mathematics from reception to year 6.

London: DfEE.

Department for Education and Science (DES). (1988). Mathematics for ages 5 to 16.

London: DES.

Engineering Council. (1999). Measuring the mathematics problem. London:

Engineering Council.

Giaquinto, M. (2007). Visual thinking in mathematics. Oxford: Oxford University

Press.

Hoyles, C., & Jones, K. (1998). Proof in dynamic geometry contexts. In: C.

Mammana and V. Villani (Eds), Perspectives on the teaching of geometry for

the 21st Century. (pp. 121-128). Dordrecht: Kluwer.

Jones, K. (1998). Deductive and intuitive approaches to solving geometrical

problems. In C. Mammana & V. Villani (Eds.), Perspectives on the teaching of

geometry for the 21st Century. (pp. 78-83). Dordrecht: Kluwer.

Jones, K. (2000). Critical issues in the design of the geometry curriculum, In B.

Barton (Ed.), Readings in mathematics education (pp. 75-91). Auckland, New

Zealand: University of Auckland.

Jones, K. (2002). Issues in the teaching and learning of geometry. In L. Haggarty

(Ed.), Aspects of teaching secondary mathematics: Perspectives on practice (pp.

121-139). London, UK: Routledge Falmer.

Jones, K., Mackrell, K., & Stevenson, I. (2009). Designing digital technologies and

learning activities for different geometries. In C. Hoyles and J.-B. Lagrange

(Eds.), Mathematics education and technology: Rethinking the terrain [The 17th

ICMI Study]. New York: Springer. Chapter 4.

Jones, K., & Mooney, C. (2003). Making space for geometry in primary

mathematics. In I. Thompson (Ed.), Enhancing primary mathematics teaching.

(pp. 3-15). London: Open University Press.

Kvasz, L. (2005). Similarities and differences between the development of

geometry and of algebra. In C. Cellucci & D. Gillies (Eds.), Mathematical

reasoning and heuristics (pp.25-47). London: King’s College Publications.

London Mathematical Society (LMS). (1995). Tackling the mathematics problem.

London: LMS.

Logothetti, D. & Coxeter, H. S. M. (1980). An interview with H. S. M. Coxeter, the

king of geometry. Two-Year College Mathematics Journal, 11(1), 2-19.

National Mathematics Advisory Panel. (2008). Foundations for success: Final

report of the national mathematics advisory panel. Washington, DC: U.S.

Department of Education.

National Aeronautics and Space Administration (NASA) (2006), NASA Achieves

Breakthrough In Black Hole Simulation. Website accessed 31 August 2009:

http://www.nasa.gov/vision/universe/starsgalaxies/gwave.html

Office for Standards in Education (Ofsted). (2008). Mathematics: understanding the

score. London: HMSO.

Qualifications and Curriculum Authority (QCA). (2004). Interpreting the

mathematics curriculum: Developing reasoning through algebra and geometry.

London: QCA.

Qualifications and Curriculum Authority (QCA). (2005). QCA futures: meeting the

challenge. London: QCA.

Qualifications and Curriculum Authority (QCA). (2007). The new secondary

curriculum: What has changed and why? London: QCA.

Qualifications and Curriculum Authority (QCA). (2009). Website: National

curriculum: What has changed and why? London: QCA. Website accessed 31

August 2009:

http://curriculum.qcda.gov.uk/key-stages-3-and-4/developing-yourcurriculum/

what_has_changed_and_why/index.aspx

Royal Society. (2001). Teaching and learning geometry 11-19. London: Royal

Society.

Usiskin, Z. (2004). Should all students study a significant amount of algebra?

Keynote at the Dutch National Mathematics Days (NWD), 2004. [keynote also

in Nieuw Archief voor Wiskunde, June 2004, 147-151]

Zachariades, T., Jones, K., Giannakoulias, E., Biza, I., Diacoumopoulos, D., &

Souyoul, A. (2007). Teaching calculus using dynamic geometric tools.

Southampton, UK: University of Southampton.