Geometry Problem#8 (Segitiga)

Geometry Problem#8 (Segitiga)

Oleh Samsul Maarif

Untuk masalah geometri yang diajukan penulis kali ini yaitu:

Pada segitiga ABC sudut B siku-siku, dibuat garis bagi dalam dan garis bagi luar . Garis-garis bagi dalam memotong garis bagi tersebut berturut-turut di D dan E. Buktikan bahwa CE = CD.

Pemecahan:

Lihat gambar berikut:

Diketahui:

Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku

Sudut A = 90^o

CF: garis bagi sudut C

CE: garis bagi sudut BCG

AE: garis bagi sudut A

Yang akan dibuktikan:

CE = CD

Bukti:

>>> Lihat segitiga ABC

sudut A + sudut B + sudut C = 180^o (Jumlah sudut dalam segitiga)……………pernyataan (i)

sudut CAE = sudut CAH

                   = sudut CAD

                   = ½ sudut A ( Titik E, D, dan H segaris atau coliner)……………...pernyataan (ii)

sudut ACF = sudut BCF (CF garis bagi sudut C)……………………………….pernyatan (iii)

sudut ACF = sudut ACD ( titik D dan F segaris atau coliner)………………….pernyataan (iv)

substitusikan pernyataan (ii), (iii) dan (iv)ke pernyataan (i), sehingga

sudut A + sudut B + sudut C = 180^o

2 sudut CAD + sudut B +  2 sudut  ACD = 180^o

2 sudut CAD + 90^o +  2 sudut  ACD = 180^o

2 sudut CAD +  2 sudut  ACD = 90^o

 sudut CAD +  sudut  ACD = 45^o ……………………………………………...pernyataan (v)

>>> Lihat segitiga ACD

sudut CAD + sudut ACD + sudut ADC = 180^o (Jumlah sudut dalam segitiga)

(sudut CAD + sudut ACD )+ sudut ADC = 180^o …………………………….pernyataan (vi)

substitusikan pernyataan (v) ke dalam pernyataan (vi), sehingga didapat

(sudut CAD + sudut ACD )+ sudut ADC = 180^o

                                      45^o + sudut ADC = 180^o

                                               sudut ADC = 135^o……………………………pernyataan (vii)

>>> Lihat segitiga DCE

sudut CDE = 180^o – sudut ADC (berpelurus)……………………………..pernyataan (viii)

substitusikan pernyataan (vii) ke dalam pernyataan (viii), sehingga didapat

sudut CDE = 180^o – sudut ADC

sudut CDE = 180^o – 135^o

sudut CDE = 45^o ………………………………………………………….pernyataan (ix)

>>> Lihat segitiga ACE

sudut CAE + sudut ACE + sudut AEC = 180⁰ (Jumlah sudut dalam segitiga)...pernyataan (x)

sudut BCG = 180^o – sudut A

½ sudut BCG = 90^o – ½ sudut A

 ½ sudut BCG = 90^o – sudut ACD……….…………………………………..pernyataan (xi)

sudut BCE = sudut ECG = ½ sudut BCG (CE garis bagi sudut BCG)…......pernyataan (xii)

substitusikan pernyataan (xi) ke dalam pernyataan (x), sehingga didapat

sudut BCE =  ½ sudut BCG

sudut BCE =  90^o – sudut ACD .………………………………………...pernyataan (xiii)

sudut ACE = 2 sudut ACD + sudut BCE……………………………….. pernyataa (xiv)

substitusikan pernyataan (xiii) ke dalam pernyataan (xiv), sehingga didapat

sudut ACE = 2 sudut ACD + 90^o – sudut ACD

sudut ACE =  sudut ACD + 90^o……………………………………….. pernyataan (xv)

substitusikan pernyataan (xv) ke dalam pernyataan (x), sehingga didapat

sudut CAE + sudut ACE + sudut AEC = 180⁰

(sudut CAE + sudut ACD) + 90^o + sudut AEC = 180⁰

45^o + 90^o + sudut AEC = 180^o

sudut AEC = 180^o - 135⁰

sudut AEC = 45^o …………………………………………………………...pernyataan (xvi)

>>> Lihat segitiga CDE

Dari pernyatanan (ix) dan pernyataan (xvi) dapat disimpulkan bahwa

sudut CDE = sudut AEC = 45^o, yang artinya segitigasegitiga CDE adalah segitiga sama kaki sehingga CE = CD……(Terbukti)

Selamat mencoba…………………