Hubungan antara Akar-akar dengan Koefisien Sebuah Polinomial

Hubungan antara Akar-akar dengan Koefisien Sebuah Polinomial

Pada pembelajaran kali ini penulis ingin mengeksplorasi hubungan anatara akar-akar sebuah persamaan polinomeial dengan tiap-tiap koefisien persamaan tersebut. Dalam persamaan berbentuk p dengan koefisien derajat tertingginya adalah 1 memenuhi:

xⁿ + p₁x^n-1 + p₂x^n-2 + p₃x^n-3 + p₄x^n-4 + p₅x^n-5 + . . . + p_n-1x^n-5 + p_n = 0

dengan memisalkan akar-akar persamaan diata adalah x_1,  x₂, x₃, x₄,  . . . , x_n.

Untuk itu kita akan mengeksplorasinya dari derajat yang terendah.

Polinomial berderajat 2

Misalkan akar-akar polinomial berderajat yang memenuhi persamaan diatas adalah x₁ dan x₂, sehingga persamaanya:

          (x - x₁) (x – x₂) =  0

x² - x x₁ – xx₂ + x₁ x₂ = 0

x² – (x₁ + x₂)x + x₁ x₂ = 0

Mengacu dari bentuk umum persamaan polinomial berderajat 2 yaitu,

x² + p₁x² + p₂ = 0, maka:

Jumlah semua akar = x₁ +  x₂ = -p₁

 Perkalian semua akar = x₁. x₂ = p_{2 . . . . . . (i)}

Polinomial berderajat 3

Misalkan akar-akar polinomial berderajat yang memenuhi persamaan diatas adalah x₁, x₂, dan x₃, sehingga persamaanya:

(x - x₁) (x – x₂) (x – x₃) =  0

(x² - x x₁ – xx₂ + x₁ x₂) (x – x₃) = 0

x³ – x₃x² – x₁x² + x₁x₃x – x₂x² + x₂x₃x + x₁x₂x - x₁x₂x₃ = 0

x³ – (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x - x₁x₂x₃ = 0

Mengacu dari bentuk umum persamaan polinomial berderajat 2 yaitu,

x² + p₁x² + p₂x+ p₃ = 0, maka:

Jumlah semua akar = x₁ + x₂ + x₃ = -p₁

Jumlah perkalian dua buah akar = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃= p₂

 Perkalian semua akar = x₁. x₂. x₃ = -p_{3 . . . . . . (ii)}

Polinomial berderajat 4

Misalkan akar-akar polinomial berderajat yang memenuhi persamaan diatas adalah x₁, x₂, x₃ dan x_4­, sehingga persamaanya:

(x - x₁) (x – x₂) (x – x₃) (x – x₄) =  0

(x³ – x₃x² – x₁x² + x₁x₃x – x₂x² + x₂x₃x + x₁x₂x - x₁x₂x₃) (x – x₄) = 0

x⁴ – x₄x³ – x₃x³ + x₃x₄x² – x₁x³ + x₁x₄x² + x₁x₃x² – x₁x₃x₄x – x₂x³ + x₂x₄x² + x₂x₃x² – x₂x₃x₄x +

                                                                                        x₁x₂x² – x₁x₂x₄x – x₁x₂x₃x + x₁x₂x₃x_4­ = 0

x⁴ – (x₁ + x₂ + x₃+ x₄)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄+ x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄)x – (x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + x₁x₃x₄

                                                                                                                   + x₂x₃x₄)x + x₁x₂x₃x₄ = 0

Mengacu dari bentuk umum persamaan polinomial berderajat 2 yaitu,

x⁴ + p₁x³ + p₂x²+ p₃x + p₄  = 0, maka:

Jumlah semua akar = x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = -p₁

Jumlah perkalian dua buah akar = x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄+ x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄= p₂

Jumlah perkalian tiga buah akar = x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + x₁x₃x₄+ x₂x₃x₄ = -p₃

 Perkalian semua akar = x₁. x₂. x₃. x₄ = -p_{3 . . . . . . (iii)}

dan seterusnya anda dapat menentukannya untuk polinomial berderajat selanjutnya.

Analogi dengan cara (i), (ii) dan (iii) dan dengan mengacu bentuk umum persamaan polinomial berderajat 2 yaitu,

xⁿ + p₁x^n-1 + p₂x^n-2 + p₃x^n-3 + p₄x^n-4 + p₅x^n-5 + . . . + p_n-1x^n-5 + p_n = 0

dengan memisalkan akar-akar persamaan diata adalah x_1,  x₂, x₃, x₄,  . . . , x_n, maka:

Jumlah semua akar = -p₁

Jumlah perkalian dua buah akar = p₂

Jumlah perkalian tiga buah akar =  -p₃

Jumlah perkalian empat buah akar =  p₄

Jumlah perkalian lima buah akar = - p₅

dan seterusnya.

 Perkalian semua akar = (-1)ⁿp_n

Oleh: Samsul Maarif

Referensi

Spiegel, M. 1984. Matematika Dasar. Jakarta: Eirlangga.