Teorema Playfair

Teorema Playfair

Oleh: Samsul Maarif 

Pada pembelajaran kali ini penulis ingin membahas tentang Teorema Playfair. Teorema ini adalah bagian yang sangat fundamental untuk konsep kesejajaran. Playfair mencoba menjelaskan Axioma 5 Euclid yang pada saat itu sebagian ilmuan tidak menerimanya sebagai suatu axioma. Adapun teorem playfair adalah sebagai berikut.

Jika terdapat sebuah garis dan sebuah titik yang noncolinear, maka dapat dibentuk secara tunggal garis sejajar dan melalui titik tersebut.               

Kiata akan membuktikan teorema playfair tersebut dengan  memisalkan garis tersebut adalah garis l  dengan titik A collinear pada garis l, akan ditunjukkan bahwa dapat dibentuk secara tunggal garis // l melalui titik A.

Bukti kontradiksi

Misalkan terdapat dua buah garis yaitu garis m dan n dimana tiap-tiap garis // l dan melalui titik A artinya garis m // l dan melalui A dan garis n // l dan melalui A , seperti tampak pada gambar berikut.

Selanjutnya buat k yaitu garis potong pada tiap-tiap garis sehingga memotong garis l, m dan n masing-masing di titik B, C dan D seperti tampak pada gambar berikut.

Perhatikan garis m // l dipotong oleh garis k, berdasarkan Axioma 5 Euclid maka besar sudut EBC + besar sudut ACB = 180⁰ (sudut sehadap) <=> besar sudut ACB = 180⁰_- besar sudut EBC…..(i). Krena sudut BCD adalah suatu sudut lurus, maka besar sudut ACD = 180⁰_- besar sudut ACB…..(ii). Dari pernyataan (i) dan (ii) dapat dinyatakan bahwa besar sudut ACD = sudut EBC = sudut EBD…..(iii). Perhatikan n // l dipotong oleh garis k, berdasarkan Axioma 5 Euclid maka besar sudut ADB + besar sudut EBD = 180⁰ (sudut sehadap) <=> besar sudut ADC + besar sudut EBD = 180⁰, dengan memperhatikan pernyataan (iii) maka besar sudut ADC + besar sudut ACD = 180⁰.......(iv). Selanjutnya perhatikan bahwa garis m dan n adalah dua garis yang berbeda dan melalui titik A, sehingga apabila garis kedua garis tersebut dipotong oleh garis yang lain yaitu garis A maka akan terbentuk sebuah segitiga ACD. Dengan mempertimbangkan teorema pernyataan (iv)   maka didapat

Besar sudut ADC + besar sudut ACD + besar sudut CAD = 180⁰ + besar sudut CAD > 180⁰. Hal tersebut bertentangan dengan teorema jumlah sudut suatu segitiga yaitu 180⁰, sehingga asumsi bahwa terdapat dua buah garis yaitu garis m dan n dimana tiap-tiap garis // l dan melalui titik A adalah tidak benar. Artinya terbukti bahwa jika terdapat sebuah garis dan sebuah titik yang noncolinear, maka dapat dibentuk secara tunggal garis sejajar dan melalui titik tersebut. □

Daftar Pustaka

Greenberg, Martin J.1994. Euclidean and Non-Euclidean Geometries Development and History. New York: W.H. Freeman and Company.