Bukti Geometri #25

Bukti Geometri #25

Oleh: Samsul Maarif

 

Masalah yang akan dibuktikan:

Jika terdapat sebuah garis dan sebuah titik yang noncolinear, maka dapat dibentuk secara tunggal garis sejajar dan melalui titik tersebut.               

Misalkan garis tersebut adalah garis l  dengan titik A collinear pada garis l, akan ditunjukkan bahwa dapat dibentuk secara tunggal garis // l melalui titik A.

Bukti kontradiksi

Misalkan terdapat dua buah garis yaitu garis m dan n dimana tiap-tiap garis // l dan melalui titik A artinya garis m // l dan melalui A dan garis n // l dan melalui A , seperti tampak pada gambar berikut.

Selanjutnya buat k yaitu garis potong pada tiap-tiap garis sehingga memotong garis l, m dan n masing-masing di titik B, C dan D seperti tampak pada gambar berikut.

Perhatikan garis m // l dipotong oleh garis k, berdasarkan Axioma 5 Euclid maka besar sudut EBC + besar sudut ACB = 180⁰ (sudut sehadap) <=> besar sudut ACB = 180⁰_- besar sudut EBC…..(i). Krena sudut BCD adalah suatu sudut lurus, maka besar sudut ACD = 180⁰_- besar sudut ACB…..(ii). Dari pernyataan (i) dan (ii) dapat dinyatakan bahwa besar sudut ACD = sudut EBC = sudut EBD…..(iii). Perhatikan n // l dipotong oleh garis k, berdasarkan Axioma 5 Euclid maka besar sudut ADB + besar sudut EBD = 180⁰ (sudut sehadap) <=> besar sudut ADC + besar sudut EBD = 180⁰, dengan memperhatikan pernyataan (iii) maka besar sudut ADC + besar sudut ACD = 180⁰.......(iv). Selanjutnya perhatikan bahwa garis m dan n adalah dua garis yang berbeda dan melalui titik A, sehingga apabila garis kedua garis tersebut dipotong oleh garis yang lain yaitu garis A maka akan terbentuk sebuah segitiga ACD. Dengan mempertimbangkan teorema pernyataan (iv)   maka didapat

Besar sudut ADC + besar sudut ACD + besar sudut CAD = 180⁰ + besar sudut CAD > 180⁰. Hal tersebut bertentangan dengan teorema jumlah sudut suatu segitiga yaitu 180⁰, sehingga asumsi bahwa terdapat dua buah garis yaitu garis m dan n dimana tiap-tiap garis // l dan melalui titik A adalah tidak benar. Artinya terbukti bahwa jika terdapat sebuah garis dan sebuah titik yang noncolinear, maka dapat dibentuk secara tunggal garis sejajar dan melalui titik tersebut. □

Daftar Pustaka

Greenberg, Martin J.1994. Euclidean and Non-Euclidean Geometries Development and History. New York: W.H. Freeman and Company.