Tips dalam Pembuktian Geometri

Tips dalam Pembuktian Geometri

Oleh Samsul Maarif

Geometri adalah cabang dari matematika yang berhubungan dengan titik, garis, bidang dan ruang. Untuk memahami konsep-konsep geometri diperlukan suatu definisi yang sering kita sebut dengan postulat. Adapun sifat-sifat dari konsep tersebut diperoleh dari pembuktian-pembuktian yang disebut dengan dalil ataupun teorema. Oleh karena itu, pembuktian dalam geometri sangat penting untuk mengetahui ataupun mengeksplorasi sifat-sifat dari suatu konsep geometri.

Sebelum penulis menjabarkan lebih lanjut tentang bagaimana tips dalam pembuktian geometri, penulis ingin mengajak para pembaca untuk mengetahui arti pentingnya sebuah pembuktian. Penulis ingin memulainya dengan firman Alloh QS. al-Mu’minun [23]: 117

“Dan barang siapa menyembah tuhan lain selain Allah, padahal tidak ada suatu bukti pun baginya tentang itu, maka perhitungannya hanya pada Tuhannya. Sungguh orang-orang kafir itu tidak akan beruntung.” 

Dari ayat tersebut di atas Alloh sangat menekankan bahwa sesuatu hal yang harus kita lakukan atas keyakinan kita haruslah didasarkan pada sebuah bukti. Bahkan Alloh menegaskan jika seseorang menyembah selain Alloh tanpa bukti adalah orang kafir yang tidak beruntung. Dalam artian jika kita bertindak tanpa adanya bukti kita tidak beruntung atau mengada-ada. Tentunya akan menjadi salah jika kita berjalan tanpa adanya bukti. Lalu apa hubunganya dengan pembuktian geometri atau pembuktian matematika secara umum?

Kemampuan membuktikan sangat dibutuhkan karena jika seseorang mampu membuktikan suatu hal maka keyakinan akan hal yang ingin dibuktikan menjadi bertambah. Keyakinan itu dapat menjadikan acuan untuk mengembangkan pemikiranya untuk terus mangaitkan dengan konsep-konsep lain dalam matematika sehingga tercipta suatu dugaan baru. Alhasil, seseorang yang mampu membuktikan akan menjadi orang yg beruntung karena dapat meyakinkan dirinya pada suatu konsep matematika atau geometri pada khususnya.

Sebuah bukti dalam geometri sama halnya bukti dari cabang matematika yang lainya yaitu argumentasi dari sebuah fakta-fakta yang telah diketahui sebelumnya kemudian merangkai fakta-fakta tersebut dalam seraingkaian berpikir logis hingga pada akhirnya sampai pada hal yang ingin dibuktikan. Pembuktian dimaksudkan untuk mengetahui suatu kebenaran dari suatu sifat geometri. Pembuktian tentunya harus didasarkan pada suatu kebenaran-kebenaran sebelumnya. Dengan kemampuan pembuktian geometri diharapkan seseorang yang belajar geometri mampu memahami secara utuh dan mendasar sebuah konsep geometri dan mampu menjadikan konsep tersebut untuk acuan menyelesaikan permaslahan-permasahan geometri yang lainya.

Dalam beberapa kesempatan dalam pembelajaran di kelas pembuktian geometri menjadi persoalan. Masalah yang muncul dari berbagai observasi yang penulis lakukan diantaranya: kurangnya memahami permaslahan yang akan dibuktikan, kurang memahami sifat-sifat ataupun geometri sebelumnya, kurangnya kemampuan mengkonstruksi sifat-sifat yang terkait dengan masalah yang ingin dibuktikan menjadi satu kesatuan sehingga tercipta sebuah konjektur, dan tidak terbiasa menulis bukti secara sistematis. Bercermin pada permaslahan yang telah disebutkan, penulis ingin membahas bebebrapa trik dalam pembuktian geometri, yaitu:

Misalkan terdapat permaslahan pembuktian sebagi berikut:

Buktikan: “Jika pada sebuah segitiga sudut puncaknya dibagi dua sama besar, maka garis bagi sudut luar puncak dengan perpanjangan alas merupakan sudut yang sama dengan setengah selisih sudut alasnya.”

1.      Memahami masalah yang akan dibuktikan dengan menuliskan terlebih dahulu kata kunci  pada permasalahan yang ingin di buktikan, kemudian pikirkan sifat-sifat yang dimiliki oleh kata-kata kunci tersebut

Dari permaslahan di atas kita dapat menuliskan kata kunci seperti: Sudut Puncak, Sudut Luar. Dari kata-kata kunci itu kita bias mengaitkan kata kunci itu dengan sifat yang dimilikinya seperti, Sudut Puncak yaitu sudut yang terbentuk oleh sisi tegak, karana susut puncaknya dibagi dua sama besar berarti terdapat garis bagi sudut. Sudut luar merupakan pelurus dari sudut dalam besarnya 180⁰ – sudut dalam yang bersisian.  

2.      Pisahkan hal yang ada pada permasalahan sebagai preposisi dan konklusi.

Dari permaslahan diatas kita dapat memisahkan

Preposisi: “Jika pada sebuah segitiga sudut puncaknya dibagi dua sama besar, maka garis bagi sudut luar puncak dengan perpanjangan alas”

Konklusi:” sudut yang terjadi yaitu sudut yang sama dengan setengah selisih sudut alasnya

3.      Menggambarkan bentuk geometri yang akan dibuktikan dengan detail dari apa yang diketahui dari permasalahan yang ingin dibuktikandan tuliskan apa yang diketahui dari gambar yang telah dibuat.

Dari permasalahan di atas kita dapat membuat gambarnya.

 

 

Dari gambar kita dapat menuliskan informasi yang diketahui dan apa yang ingin dibuktikan:

Diketahui:

Segitiga ABC sembarang

CD: garis bagi sudut C

CF: Garis bagi sudut BCF

FB perpanjangan AB

CF dan FB berpotongan membentuk sudut BFC

Yang ingin dibuktikan:

sudut BFC = ½ abs(Sudut A-sudut B)

4.      Mulailah mengaitkan apa informasi yang diketahui berikut sifat-sifatnya satu sama lain, Arahkan pada suatu konsep yang ingin dibuktika.

Pada masalah di atas yang mau dibuktikan adalah konsep sudut pada segitiga, sehingga harus diidentifikasi segitiga apa saja yang terdapat pada gamabar tersebut yaitu, Segitiga ABC, segitiga AFC, segitiga DFC, segitiga BDC, dan Segitiga ADC. Kemudian lihat dari masing-masing segitiga mana yang terkait langsung dengan sudut yang akan kita buktikan. Dari segitiga tersebut kita mendapatkan dua segitiga yaitu segitiga AFC dan segitia BCF yang berkaitan langsing dengan sudut BFC dan segitiga ABC yang berkaitan dengan sudut A dan Sudut B.

5.      Tuliskan secara sitematis dugaan kaitan konsep dan jangan lupa setiap statement harus di tulis alasanya.

Kita dapat menuliskan secar sistematis seperti berikut:

>> Lihat segitiga AFC

Sudut A + sudut AFC + sudut ACF = 180⁰  ( Jumlah Sudut Segitiga)……….pernyataan (i)

Sudut AFC = Sudut BCF ( titik A, B dan F segaris atau coliner ) …………...pernyataan (ii)

Sudut ACF = sudut C + sudut BCF …………………………………………..pernyataan (iii)

Sudut BCF = ½ sudut BCE ( FB garis bagi sudut BCE)……………………...pernyataan (iv)

Substitusikan pernyataan (iv) ke persamaan (iii), sehingga

Sudut ACF = sudut C + ½ sudut BCE…………………………………………pernyataan (v)

Sudut BCE = 180⁰ – sudut C (Berpelurus)…………………………………….pernyataan (vi)

Substitusikan pernyataan (vi) ke persamaan (v), sehingga

Sudut ACF = sudut C + ½ (180⁰ – sudut C)

                   = sudut C + 90⁰ – ½ sudut C

                   = 90⁰ + ½ sudut C………………………………………………..pernyataan (vii)

Substitusikan pernyataan (ii) dan (vii) ke persamaan (i), sehingga

Sudut A + sudut AFC + sudut ACF = 180⁰ 

Sudut A + 90⁰ + ½ sudut C + sudut BCF = 180⁰ 

sudut BCF = 180⁰  - 90⁰ - Sudut A - ½ sudut C

                   = 90⁰ - Sudut A - ½ sudut C …………………………………..pernyataan (ix)

>> Lihat segitiga BCC

Sudut CBF = 180⁰ – sudut B (Berpelurus)………………………………....pernyataan (x)

sudut BFC+ sudut CBF+ sudut CBF = 180⁰ ( Jumlah Sudut Segitiga)…….pernyataan (xi)

Substitusikan pernyataan (vii) dan pernyataan (x) ke pernyataan (xi), sehingga:

sudut BFC+ sudut CBF+ sudut BCF = 180⁰

sudut BFC+ 180⁰ – sudut B + ½ sudut BCE = 180⁰ ……………………...pernyataan (xii)

Substitusikan pernyataa (vi) ke pernyataan (xii), sehingga

sudut BFC+ 180⁰ – sudut B + ½ (180⁰ – sudut C )= 180⁰

sudut BFC – sudut B + 90⁰ – ½ sudut C = 0

Sudut BFC = sudut B +½ sudut C - 90⁰………………………………….......pernyataan (xiii)

Dengan menjumlahkan pernyataan (ix) dan pernyataan (xiii), didapat:

2 sudut BFC = (90⁰ - Sudut A - ½ sudut C) + (sudut B + ½ sudut C - 90⁰)

2 sudut BFC = 90⁰ - Sudut A - ½ sudut C + sudut B + ½ sudut C - 90⁰

2 sudut BFC = sudut B - Sudut A

sudut BFC = ½ abs(sudut B - Sudut A ) = ½ abs(sudut A - Sudut B )…….terbukti

6.      Periksalah kembali langkah-langkah pembuktian yang telah anda buat. Jika terjadi kesalahan perbaiki dengan mengaitkan konsep yang lebih tepat. Apabila sudah dirasa benar, berarti langkah-langkah pembuktian sudah dapat diterima.

7.      Lakukan pembuktian dengan cara yang lain dari cara pembuktian yang sudah anda buat

Demikian beberapa tips dalam pembuktian geometri. Teruslah berlatih. Selamat mencoba……..