Tuesday, April 22, 2014

Teorema Phytagoras


Teorema Phytagoras

Pada pembelajaran kali ini, kita akan mengeksplorasi tentang Teorema Phytagoras. Berikut akan dijelaskan beberapa cara untuk membuktikan Teorema Phytagoras.













CARA I
Pada cara pertama kita akan membuktikan Teorema Phytagoras dengan pendekatan luas daerah jajaran genjang. Lihat gambar di bawah ini.




Dengan menarik garis-garis sejajar melalui titik potong tersebut sehingga terbentuk jajaran genjang seperti di bawah ini.



 Terdapat dua buah jajaran genjang yang berwarna kuning dan berwarna biru.
Misal:
 L1: Luas daerah jajaran genjang berwarna kuning 
L2: Luas daerah jajaran genjang berwarna hijau
Maka,
L1= alas × tinggi
     = b×b
     = b2
L1= alas × tinggi
     = a×a
     = a2
Sehingga L1 + L2 = a2 + b2
Ternyata jumlah luas daerah tersebut akan sama dengan luas daerah persegi dengan panjangnya c satuan yang berarti luas daerahnya c2, seperti terlihat pada gambar di bawah ini.



Sehingga didapatlah Teorema Phytagoras yaitu
a2 + b2  = c2 ,  untuk c panjang sisi miring (hypotenuse) dan a, b panjang sisi tegak pada segitiga siku-siku.

CARA II
Pada cara kedua akan ditemukan Teorema Phytagoras dengan pendekatan luas daerah persegi. Lihat gambar di bawah ini.




Luas daerah persegi yang besar = ( a + b )2 = Luas daerah persegi yang kecil + 4× Luas daerah
                                                                        segitiga siku-siku
Sehingga,
( a + b )2 = c2 + 4× 1/2×ab
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2
Sehingga didapatlah Teorema Phytagoras yaitu
a2 + b2  = c2 ,  untuk c panjang sisi miring (hypotenuse) dan a, b panjang sisi tegak pada segitiga siku-siku.

CARA III
Untuk cara yang ketiga kita menggunakan pendekatan konsep kesebangunan dua buah segitiga. Lihat gambar di bawah ini.



Misalkan:
Panjang AB = c
Panjang BC = a
Panjang AC = b
Panjang AD = c1
Panjang BD = c2
>>>Lihat Segitiga ADC dan Segitiga ABC
Sudut ADC = Sudut ACB (sudut siku-siku)
Sudut CAD = Sudut CAB (Berimpit)
Sudut ACD = Sudut ABC (Jumlah sudut segitiga)
Sehingga, segitiga ADC sebangun dengan segitiga ABC (Sd.Sd.Sd), maka:

c1 : a = a : c , sehingga a2 = c1c …….pers.(i)


>>>Lihat Segitiga BDC dan Segitiga ABC
Sudut BDC = Sudut ACB (sudut siku-siku)
Sudut CBD= Sudut CAB (Berimpit)
Sudut BCD = Sudut ABC (Jumlah sudut segitiga)
Sehingga, segitiga ADC sebangun dengan segitiga ABC (Sd.Sd.Sd), maka:

c2 : b = b : c , sehingga b2 = c2c …….pers.(ii)
Dengan menjumlahkan pers.(i) dan pers.(ii) maka didapat
a2 + b2 = c1c + c2c
a2 + b2 = (c1+ c2 )c
a2 + b2 = c.c
a2 + b2 = c2
Sehingga didapatlah Teorema Phytagoras yaitu
a2 + b2  = c2 ,  untuk c panjang sisi miring (hypotenuse) dan a, b panjang sisi tegak pada segitiga siku-siku.

CARA IV
Cara keempat kita lakukan dengan pendekatan trigonometri. Lihat gambar berikut ini.






Misalkan:
Panjang AB = c
Panjang BC = a
Panjang AC = b
Panjang AD = c1
Panjang BD = c2

Dengan menggunakan aturan sinus di dapat
a : sin A = c : sin C     => a : sin A = c : sin 900  => a : sin A = c , sehingga a2 = c2 Sin2A
b : sin B = c : sin C     => b : sin B = c : sin 900  => b : sin B = c , sehingga b2 = c2 Sin2B
Dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut didapat
a2 + b2 = c2 Sin2A + c2 Sin2B
a2 + b2 = c2 (Sin2A + Sin2B)
a2 + b2 = c2 [{(1-Cos 2A)/2}+{( 1-Cos 2A)/2}]
a2 + b2 = c2 {(1-Cos 2A + 1-Cos 2A)/2}
a2 + b2 = c2 {(2-Cos 2A -Cos 2A)/2}
a2 + b2 = c2 {1- 1/2(Cos 2A +Cos 2A)}
a2 + b2 = c2 [1- ½ {2Cos ½ (2A+2B)Cos ½ (2A-2B)}]
a2 + b2 = c2 [1- ½ {2Cos (A+B)Cos (A-B)}]
a2 + b2 = c2 [1- ½ {2Cos (900)Cos (A-B)}]
a2 + b2 = c2 [1- 0]
a2 + b2 = c2

Sehingga didapatlah Teorema Phytagoras yaitu
a2 + b2  = c2 ,  untuk c panjang sisi miring (hypotenuse) dan a, b panjang sisi tegak pada segitiga siku-siku.

No comments:

Post a Comment

Mohon komentarnya....!

Pendidikan

Analisis Data Statistik dengan SPSS


Tinggalkan Pesan dan Kesan Anda di Buku Tamu

Komentar Terbaru