Teorema Phytagoras

Teorema Phytagoras

Pada pembelajaran kali ini, kita akan mengeksplorasi tentang Teorema Phytagoras. Berikut akan dijelaskan beberapa cara untuk membuktikan Teorema Phytagoras.

CARA I

Pada cara pertama kita akan membuktikan Teorema Phytagoras dengan pendekatan luas daerah jajaran genjang. Lihat gambar di bawah ini.

Dengan menarik garis-garis sejajar melalui titik potong tersebut sehingga terbentuk jajaran genjang seperti di bawah ini.

 Terdapat dua buah jajaran genjang yang berwarna kuning dan berwarna biru.

Misal:

 L1: Luas daerah jajaran genjang berwarna kuning 

L2: Luas daerah jajaran genjang berwarna hijau

Maka,

L1= alas × tinggi

     = b×b

     = b²

L1= alas × tinggi

     = a×a

     = a²

Sehingga L1 + L2 = a² + b²

Ternyata jumlah luas daerah tersebut akan sama dengan luas daerah persegi dengan panjangnya c satuan yang berarti luas daerahnya c², seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

Sehingga didapatlah Teorema Phytagoras yaitu

a² + b²  = c² ,  untuk c panjang sisi miring (hypotenuse) dan a, b panjang sisi tegak pada segitiga siku-siku.

CARA II

Pada cara kedua akan ditemukan Teorema Phytagoras dengan pendekatan luas daerah persegi. Lihat gambar di bawah ini.

Luas daerah persegi yang besar = ( a + b )² = Luas daerah persegi yang kecil + 4× Luas daerah

                                                                        segitiga siku-siku

Sehingga,

( a + b )² = c² + 4× 1/2×ab

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

a² + b² = c²

Sehingga didapatlah Teorema Phytagoras yaitu

a² + b²  = c² ,  untuk c panjang sisi miring (hypotenuse) dan a, b panjang sisi tegak pada segitiga siku-siku.

CARA III

Untuk cara yang ketiga kita menggunakan pendekatan konsep kesebangunan dua buah segitiga. Lihat gambar di bawah ini.

Misalkan:

Panjang AB = c

Panjang BC = a

Panjang AC = b

Panjang AD = c₁

Panjang BD = c₂

>>>Lihat Segitiga ADC dan Segitiga ABC

Sudut ADC = Sudut ACB (sudut siku-siku)

Sudut CAD = Sudut CAB (Berimpit)

Sudut ACD = Sudut ABC (Jumlah sudut segitiga)

Sehingga, segitiga ADC sebangun dengan segitiga ABC (Sd.Sd.Sd), maka:

c_{1 :} a = a : c , sehingga a² = c₁c …….pers.(i)

>>>Lihat Segitiga BDC dan Segitiga ABC

Sudut BDC = Sudut ACB (sudut siku-siku)

Sudut CBD= Sudut CAB (Berimpit)

Sudut BCD = Sudut ABC (Jumlah sudut segitiga)

Sehingga, segitiga ADC sebangun dengan segitiga ABC (Sd.Sd.Sd), maka:

c_{2 :} b = b : c , sehingga b² = c₂c …….pers.(ii)

Dengan menjumlahkan pers.(i) dan pers.(ii) maka didapat

a² + b² = c₁c + c₂c

a² + b² = (c₁+ c₂ )c

a² + b² = c.c

a² + b² = c²

Sehingga didapatlah Teorema Phytagoras yaitu

a² + b²  = c² ,  untuk c panjang sisi miring (hypotenuse) dan a, b panjang sisi tegak pada segitiga siku-siku.

CARA IV

Cara keempat kita lakukan dengan pendekatan trigonometri. Lihat gambar berikut ini.

Misalkan:

Panjang AB = c

Panjang BC = a

Panjang AC = b

Panjang AD = c₁

Panjang BD = c₂

Dengan menggunakan aturan sinus di dapat

a : sin A = c : sin C     => a : sin A = c : sin 90⁰  => a : sin A = c , sehingga a² = c² Sin²A

b : sin B = c : sin C     => b : sin B = c : sin 90⁰  => b : sin B = c , sehingga b² = c² Sin²B

Dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut didapat

a² + b² = c² Sin²A + c² Sin²B

a² + b² = c² (Sin²A + Sin²B)

a² + b² = c² [{(1-Cos 2A)/2}+{( 1-Cos 2A)/2}]

a² + b² = c² {(1-Cos 2A + 1-Cos 2A)/2}

a² + b² = c² {(2-Cos 2A -Cos 2A)/2}

a² + b² = c² {1- 1/2(Cos 2A +Cos 2A)}

a² + b² = c² [1- ½ {2Cos ½ (2A+2B)Cos ½ (2A-2B)}]

a² + b² = c² [1- ½ {2Cos (A+B)Cos (A-B)}]

a² + b² = c² [1- ½ {2Cos (90⁰)Cos (A-B)}]

a² + b² = c² [1- 0]

a² + b² = c²

Sehingga didapatlah Teorema Phytagoras yaitu

a² + b²  = c² ,  untuk c panjang sisi miring (hypotenuse) dan a, b panjang sisi tegak pada segitiga siku-siku.