Bukti Geometri #27

Bukti Geometri #27

Oleh: Samsul Maarif

Masalah yang akan dibuktikan:

Buktikan bahwa jika suatu titik interior dihubungkan suatu ruas garis pada ketiga titik sudut segitiga maka jumlah panjang ketiga ruas garis tersebut akan kurang dari keliling segitiga dan lebih dari setengah keliling segitiga tersebut.                   

Sketsa permasalahan:

Diketahui P adalah titik interior segitiga yang dihubungkan suatu ruas garis terhadap ketiga buah titik sudut segitiga masing-masing AP, BP dan CP, akan ditunjukka bahwa (i) panjang sisi AP + BP + CP < keliling segitiga ABC, (ii) panjang sisi AP + BP + CP > setengah keliling segitiga ABC.

Bukti:

(i) panjang sisi AP + BP + CP < keliling segitiga ABC

Perhatikan segitiga APB, berdasarkan teorema 4 maka panjang sisi AP + BP < AC + BC……(a). Perhatikan pula segitiga BPC, berdasarkan teorema 4 pertidaksamaan segitiga maka panjang sisi BP + CP < AB + AC……(b). Selanjutnya perhatikan segitiga APC, berdasarkan teorema 4 maka panjang sisi AP + CP < AB + BC……(c). Berdasarkan pernyataan (a), (b) dan (c) dengan menjumlahkan ketiga buah pertidaksamaan tersebut didapat

2 (AP + BP + CP) < 2 (AB + BC + AC)

AP + BP + CP < AB + BC + AC

AP + BP + CP < keliling segitiga ABC

(ii) panjang sisi AP + BP + CP > setengah keliling segitiga ABC

Perhatikan segitiga APB, berdasarkan teorema 3 maka panjang sisi AP + BP > AB……(a). Perhatikan pula segitiga BPC, berdasarkan teorema 4 maka panjang sisi BP + CP < BC……(b). Selanjutnya perhatikan segitiga APC, berdasarkan teorema 4 maka panjang sisi AP + CP < AC……(c). Berdasarkan pernyataan (a), (b) dan (c) dengan menjumlahkan ketiga buah pertidaksamaan tersebut didapat

2(AP + BP + CP) < AB + BC + AC

AP + BP + CP < (1/2)(AB + BC + AC)

AP + BP + CP < setengah keliling segitiga ABC.□

Daftar Pustaka

Baan, MA. De & Bos, J.C,. 1992.  Ilmu Ukur untuk Sekolah Lanjutan tingkat Pertama. Jakarta: Pradnya Paramita.