Menyusun Bukti Geometri (Suatu Observasi Sederhana di Kelas Geometri)

Menyusun Bukti Geometri (Suatu Observasi Sederhana di Kelas Geometri)

Oleh: Samsul Maarif

Pada suatu perkuliahan geometri, penulis mengajukan suatu pernyataan sebagai berikut:

“Suatu segitiga ABC diketahui sudut A = sudut B, maka sisi AC=BC”

Penulis mengajukan pertanyaan tersebut untuk mengetahui sejauh mana sense mahasiswa terhadap geometri. Dari pertanyaan yang penulis ajukan ada beberapa respons mahasiswa terhadap pertanyaan tersebut, diantaranya:

1.      Terdapat mahasiswa menganggap bahwa pernyataan tersebut adalah suatu postulat dari segitiga sama kaki yang sudah jelas dan tidak perlu dibuktikan.

2.      Terdapat mahasiswa yang menganggap bahwa pertanyaan tersebut adalah sifat dari segitiga sama kaki tanpa menganggap bahwa itu suatu postulat atau teorema, dalam artian pengetahuan mahasiswa terhadap pernyataan tersebut adalah sifat dari segitiga sama kaki dimana jika dua buah sudut suatu segitiga sama maka akan berakibat kedua sisi pada masing-masing sudut akan memiliki panjang yang sama.

3.      Terdapat mahasiswa yang menganggap pernyataan tersebut adalah suatu teorema meskipun mahasiswa tersebut tidak memiliki ide untuk membuktikan.

4.      Terdapat mahasiswa yang menganggap pernyataan tersebut adalah suatu teorema dan mencoba untuk membuktikan, akan tetapi bukti tidak mengarah pada pembuktian pernyataan tersebut, mahasiswa tidak dapat melanjutkan bukti yang sudah dituliskan. Dalam hal ini mahasiwa sudah dapat mengkonstruksi konjektur meskipun gagasan untuk mengarah ke suatu bukti belum dapat dikonstruksi.

5.      Terdapat mahasiswa yang menganggap pernyataan tersebut suatu teorema dan mahasiwa sudah dapat menentukan konjektur dengan menarik suatu garis bagi pada tiap-tiap sisi yang dianggap sama. Mahasiswa juga sudah dapat menentukan bahwa konsep yang akan digunakan adalah konsep kekongruenan segitiga, akan tetapi mahasiswa tersebut tidak dapat menentukan sarat cukup dua buah segitiga saling kongruen. Penulis mempertanyakan pada mahasiswa tersebut “teknik pembuktian apa yang tadi anda lakukan?” mahasiswa menjawab “bukti langsung”. Dari jawaban mahasiswa penulis menganggap mahasiswa tersebut sudah memiliki modal pembuktian karena sudah dapat memetakan strategi pembuktian dan menentukan konjektur untuk menuju suatu bukti. Penulis melanjutkan untuk mengajukan pertanyaan kepada mahasiswa tersebut “adakah strategi pembuktian lain yang dapat diterapkan untuk membuktikan pertanyaan tersebut?” mahasiswapun menjawab “mungkin ada, tapi saya tidak tau itu”. Jawaban mahasiswa penulis anggap suatu kemajuan dalam menyusun bukti geometri meskipun hanya sebagai klaim yang belum dikonstruksi dengan pengetahuan yang mahasiswa tersebut miliki.

Dari paparan di atas, penulis menganggap sebagai suatu penelitian sederhana tentang menyusun bukti dan penulis menyimpulkan bahwa kematangan pengetahuan geometri sangat menentukan dalam kerja menyusun bukti geometri. Disamping itu, peran latihan dalam menyusun bukti geometri sangat penting sebagai jembatan untuk menuju kematangan berpikir menyusun bukti.

Pada kesempatan ini, penulis juga ingin berbagi bagaimana menyusun bukti tak langsung dalam menyusun bukti pernyataan yang sudah disebutkan. Penulis bermaksud untuk memberikan suatu informasi bagi para pembaca dan mudah-mudahan dapat dijadikan suatu pengalaman sehingga dapat meningkatkan kematangan dalam menyusun bukti geometri.

Pernyataan:

“Suatu segitiga ABC diketahui sudut A = sudut B, maka sisi AC=BC”

Bukti Kontradiksi

Perhatikan gambar berikut.

Misalkan AC≠BC , maka menurut hukum trikotomi terdapat dua kemungkinan yaitu  AC > BC atau AC < BC.

(i) Akan ditunjukan bahwa AC > BC

Jika AC > BC maka akan berakibat terdapat suatu titik D pada AC sehingga AD = BC.......(1), sehingga kita dapat mengkonstruksi suatu segitiga ABD. Perhatikan segitiga ABD dan segitiga ABC dimana sudut AB = BA (brimpit), sudut BAD = sudut B (sudut BAD = sudut A = sudut B), dan  sisi AD = BC yang artinya bahwa segitiga ABD kongruen dengan segitiga ABC (S.Sd.S). Akan tetapi, terdapat unsur yang berbeda pada dua buah segitiga tersebut yaitu sudut ADC ≠ sudut ACB. Hal tersbut bertentangan dengan teorema kekongruenan dua buah segitiga, sehingga asumsi bahwa  segitiga ABD kongruen dengan segitiga ABC adalah tidak benar. Sehingga, asumsi bahwa AC > BC adalah tidak benar.

(ii) Akan ditunjukkan AC < BC

Tanpa mengurangi keumuman, analogi dengan cara pembuktian yang sama pada (i) maka asumsi bahwa AC < BC tidak benar.

Dari (i) dan (ii) maka dapat disimpulkan bahwa AC = BC.

Semoga bermanfaattttttt...................... 

Gambar (proof, if where needed.......) diambil dari https://www.singularityweblog.com/a-mathematical-proof-of-the-singularity/