Geometry Problems #7 (Segitiga)

Geometry Problems #7 (Segitiga)

Masalah: Dalam segitiga ABC terdapat titik P yang diperhubungkan dengan ketiga titik sudutnya. Buktikan bahwa jumlah garis-garis penghubung itu lebih panjang daripada setengah keliling dan lebih pendek daripada keliling segitiga ABC.

Solusi:

Lihat gambar di bawah ini!

 

Lihat segitiga APC

AP + CP > AC

     q + r > b . . . . . . .(i)

Lihat segitiga ABP

AP + BP > AB

     q + s > c . . . . . . .(ii)

Lihat segitiga BPC

BP + CP > AB

     s + r > a . . . . . . .(iii)

Dari (i), (ii) dan (iii) didapat,

q + r > b

q + s > c

s + r > a     +

2 (q + r + s) > a + b + c

     q + r + s > ½ (a + b + c)

      q + r + s > ½ Keliling segitiga ABC

Lihat segitiga APC dan segitiga ABC

AP + CP < BC + AB

     q + r > a + c . . . . . . .(iv)

Lihat segitiga ABP dan segitiga ABC

AP + BP < BC + AB

     q + s > a + b . . . . . . .(v)

Lihat segitiga BPC dan segitiga ABC

BP + CP > AC+ AB

     s + r > b + c  . . . . . . .(vi)

Dari (iv), (v) dan (vi) didapat,

q + r > a + c

q + s > a + b

s + r > b + c    +

2(q + r + s) > 2(a + b + c)

    q + r + s > a + b + c

    q + r + s > Keliling Segitiga ABC

Sehingga dapat disimpulkan dalam segitiga ABC terdapat titik P yang diperhubungkan dengan ketiga titik sudutnya, maka berlaku:

q + r + s > ½ Keliling segitiga ABC

q + r + s > Keliling Segitiga ABC

Oleh: Samsul Maarif