Bukti Geometri #15

Bukti Geometri #15

Oleh: Samsul Maarif

Masalah yang akan dibuktikan:

Segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan AC = BC. Buktikan bahwa garis tinggi terhadap sisi AB kongruen dengan garis bagi sudut C, garis sumbu sisi BC dan garis berat sisi BC.

Sketsa permasalahan:

Diketahui segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan panjang sisi AB = BC dan besar sudut A = sudut B serta CD adalah garis tinggi terhadap sisi AB, akan ditunjukkan bahwa: (i) CD kongruen dengan garis bagi sudut C; (ii) CD kongruen dengan garis sumbu sisi AB; (iii) CD kongruen dengan garis berat sisi AB.

Bukti 

(i) Akan ditunjukan bahwa CD kongruen dengan garis bagi sudut C 

Perhatikan segitiga siku-siku ADC, berdasarkan teorema jumlah sudut segitiga maka besar sudut ACD = 180⁰ – (besar sudut ADC + besar sudut CAD) <=> besar sudut ACD = 90⁰ – besar sudut A….(a). Perhatikan pula segitiga siku-siku BDC, berdasarkan teorema jumlah sudut segitiga maka besar sudut BCD = 180⁰ – (besar sudut BDC + besar sudut B) <=> besar sudut ACD = 90⁰ – besar sudut A….(b). Selanjutnya telah diketahui bahwa besar sudut A = sudut B…(b), sehingga dari pernyataan (a), (b) dan (c) dapat disimpulkan bahwa besar sudut ACD = besar sudut BCD yang artinya bahwa CD kongruen dengan garis bagi sudut C. □

Catatan: garis bagi sudut suatu segitiga adalah garis yang membagi suatu sudut pada segitiga menjadi dua bagian sama besar.

(ii) Akan ditunjukkan bahwa CD kongruen dengan garis sumbu sisi AB

Perhatikan segitiga ADC dan segitiga BDC dimana besar sudut ACD = besar sudut BCD (pernyataan (ii)), panjang sisi AC = sisi BC (diketahui) dan besar sudut ADC = besar sudut BCD (sudut siku-siku) maka segitiga ADC kongruen dengan segitiga BDC sehingga mengakibatkan panjang sisi AD = sisi BD yang artinya bahwa D titik tengah BC. Karena CD tegak lurus AB dan CD melalui titik tengah BC maka CD kongruen dengang garis sumbu sisi AB. □

Catatan: garis sumbu suatu segitiga adalah garis yang tegak lurus terhadap sisi segitiga dan melalui titik tengah sisi tersebut.

(iii) Akan ditunjukkan bahwa CD kongruen dengan garis berat sisi AB

Berdasarkan pernyataan (ii) yang menyatakan D titik tengah AB dan CD melalui salah satu titik sudut segitiga ABC maka CD kongruen dengan garis berat sisi BC.

Catatan: garis berat suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga ke titik tengah sisi dihadapanya.

Dari pernyataan (i), (ii) dan (iii) terbukti  bahwa garis tinggi terhadap sisi AB kongruen dengan garis bagi sudut C, garis sumbu sisi BC dan garis berat sisi BC. □

Daftar Pustaka

Baan, MA. De & Bos, J.C,. 1992.  Ilmu Ukur untuk Sekolah Lanjutan tingkat Pertama. Jakarta: Pradnya Paramita.

Fogiel. 1987.  The Geometry Problem Solver Plane, Solid and Analytic. New York: Research and Education Association 505 Eight Avenau.