Garis Euler# (Pembuktian)

Garis Euler# (Pembuktian)

Pada pembelajaran sebelumnya sudah diterangkan bagaimana mengkonstruksi Garis Euler. Untuk pembelajaran kali ini kita akan membuktikan salah satu sifat garis Euler. Lihat gambar di bawah ini.

Titik O adalah titik sumbu atau titik pusat lingkaran luar Segitiga ABC

Titik P adalah titik tinggi Segitiga ABC

Titik Q adalah titik berat Segitiga ABC

Ketiga titik itu terletak dalam satu garis atau yang kita sebut garis Euler, kita akan mengeksplorasi perbandingan dari masing-masing segmen pada garis Euler. Untuk itu dengan menggunakan pendekatan koordinat titik kita akan lakukan eksplorasinya. Seperti terlihat pada gamabar di bawah ini.

Misalkan m adalah suatu gradient, contoh m (AB): gradient dari segmen garis AB, maka:

>>> Lihat segmen garis AB

m (AB) = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

             = (0 – 0) / (a - 0)

             = 0

Sehingga persamaan garis AB yaitu garis yang melalui titik B(a,0) dan m = 0 adalah

y – y₁= m (x – x₁)

y – 0 = 0 (x – a)

     y = 0 ………….pers. (i)

>>> Lihat segmen garis AC

m (AC) = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

             = (c – 0) / (b – 0)

             = c/b

Sehingga persamaan garis AC yaitu garis yang melalui titik A(0,0) dan m = c/b

 adalah

y – y₁= m (x – x₁)

y – 0 = (c/b) (x – 0)

     y = (c/b) x ………….pers. (ii)

>>> Lihat segmen garis BC

m (BC) = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

             = (c – 0) / (b – a)

             = c/(b – a)

Sehingga persamaan garis BC yaitu garis yang melalui titik B(a,0) dan m = c/(b – a) adalah

y – y₁= m (x – x₁)

y – 0 = {c/(b – a)} (x – a)

     y = {c/(b – a)} (x – a) ………….pers. (iii)

>>> Lihat segmen garis AF

m (AF) = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

             = {(c/2) – 0} / {(a+b)/2} – 0)

             = (c/2) / {(a+b)/2}

             = (c/2) × {2/(a+b)}

             = c/(a+b)

Sehingga persamaan garis AF yaitu garis yang melalui titik A(0,0) dan m = c/(a+b) adalah

y – y₁= m (x – x₁)

y – 0 = {c/(a+b)} (x – 0)

     y = {c/(a+b)} x  ………….pers. (iv)

>>> Lihat segmen garis BD

m (BD) = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

             = {(c/2) – 0} / {(b/2) – a}

             = (c/2) / {(b – 2a)/2}

             = (c/2) × {2/(b – 2a)}

             = c/(b – 2a)

Sehingga persamaan garis BD yaitu garis yang melalui titik B(a,0) dan m = c/(b – 2a) adalah

y – y₁= m (x – x₁)

y – 0 = { c/(b – 2a)} (x – a)

     y = { c/(b – 2a)} (x – a)………….pers. (v)

>>> Lihat segmen garis CE

m (CE) = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

             = {c – 0} / {b – (a/2)}

             = c / {(b – 2a)/2}

             = c × {2/(b – 2a)}

             = 2c/(b – 2a)

Sehingga persamaan garis CE yaitu garis yang melalui titik E(a/2,0) dan m = 2c/(b – 2a) adalah

y – y₁= m (x – x₁)

y – 0 = { 2c/(b – 2a)} {x – (a/2)}

     y = { c/(b – 2a)} {x – (a/2)}………….pers. (vi)

>>> Lihat segmen garis AI

Segmen garis AI adalah segmen garis yang tegak lurus BC melalui titik I sehingga,

m (AI) = - {1/m(BC)}

           = -[1/{c/(b – a)}]

           = -{(b – a)}/c

           = (a - b)/c

Sehingga persamaan garis AI yaitu garis yang melalui titik A(0,0) dan m = c/{a + b) adalah

y – y₁= m (x – x₁)

y – 0 = { (a - b)/c} (x – 0)

     y = {(a - b)/c}x ………….pers. (vii)               

>>> Lihat segmen garis BH

Segmen garis BH adalah segmen garis yang tegak lurus AC melalui titik H sehingga,

m (BH) = - {1/m(AC)}

           = -{1/ (c/b)}

           = -b/c

Sehingga persamaan garis AI yaitu garis yang melalui titik B(a,0) dan m = -b/c adalah

y – y₁= m (x – x₁)

y – 0 = (-b/c) (x – a)

     y = (-b/c) (x – a)………….pers. (viii)        

>>> Lihat segmen garis CG

Segmen garis CG adalah segmen garis yang tegak lurus AB melalui titik G sehingga,

m (BH) = - {1/m(AB)}

           = -{1/ 0}

           = tak terdefinisi

Sehingga persamaan garis CG yaitu y – y₁= m (x – x₁)

x = b………….pers. (ix)

>>> Lihat segmen garis JF

Segmen garis JF adalah segmen garis yang tegak lurus BC melalui titik F sehingga,

m (JF) = - {1/m(BC)}

           = -[1/{c/(b – a)}]

           = -{(b – a)}/c

           = (a - b)/c

Sehingga persamaan garis JF yaitu garis yang melalui titik F((a + b)/2,c/2) dan m = -b/c adalah

y – y₁    = m (x – x₁)

y – c/2 = {(a - b)/c}{x – (a + b)/2)}…….pers. (x)

           

>>>> Lihat segmen garis KE

Persamaan garis KE adala x = a/2…….Pers. (xi)

>>> Menentukan titik berat Q atu titik potong segmen garis AF dan BD

Lihat pers. (iv) dan pers.(v)    

{c/(a+b)} x = { c/(b – 2a)} (x – a)

cx/(a+b)  =  c(x – a)/(b – 2a)

x/(a+b)  =  (x – a)/(b – 2a)

x/(x – a)  =  (a+b)/(b – 2a)

(x – a)/x = (b – 2a)/( a+b)

(x/x) – (a/x) = (b – 2a)/( a+b)

1- (a/x) = (b – 2a)/( a+b)

1- {(b – 2a)/( a+b)} = (a/x)

{(a+b)/(a+b)} - {(b – 2a)/( a+b)} = (a/x)

{(a+b - b +2a)/( a+b)} = (a/x)

{(a+2a)/( a+b)} = (a/x)

{(3a)/ (a+b)} = (a/x)

x = { a (a+b)}/ (3a)

x = (a+b)/3

Substitusikan nilai x ke pers.(iv), sehingga didapat

     y = {c/(a+b)} x 

     y = {c/(a+b)}{(a+b)/3}

     y = c/3

Sehingga didapat titik berat yaitu di titik Q {(a+b)/3 , c/3}

>>> Menentukan koordinat titik tinggi P atau titik potong antara segmen garis AI dan CG

Lihat pers. (vii) dan pers. (ix)

Untik x = b maka,

y = {(a - b)/c}x

y = {(a - b)/c}b

y = {b(a - b)}/c

>>> Menentukan titik berat O atau titik potong segmen garis JF dan KE

Lihat pers. (x) dan pers. (xi)

 x = a/2 , maka

y – c/2 = {(a - b)/c}{(a/2) – (a + b)/2)}

y – c/2 = {(a - b)/c}{(a/2)– (a + b)/2)}

y – c/2 = {(a - b)/c}{(a – a + b)/2}

y – c/2 = {(a - b)/c}(b/2)

y – c/2 = (a² - b²)/2c

        y = (c/2) – {(a² - b²)/2c}

        y = (a² + b² + c²)/2c

Sehingga didapat titik berat yaitu di titik sumbu atau titik pusat lingkaran luar segitiga ABC         O { a/2 , (a² + b² + c²)/2c }

Apabila PO diambil titik tengah R seperti tampak pada gambar berikut:

Maka koordinat titik R {(a+2b)/4 ,(ab + c² – b²)/4c}

Dengan menggunakan aturan menentukan jarak yaitu:

Untuk A(x₁ , y₁) dan B(x₂ , y₂) sehingga jarak AB = Akar [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] , maka didapat

PO = (1/2c) Akar (10c²b² −10c²ab+c²a² +9a²b² −18ab³ +9b⁴ +c⁴)

PQ = (1/3c) Akar (10c²b² −10c²ab+c²a² +9a²b² −18ab³ +9b⁴ +c⁴) = (2/3)PO

PR = (1/4c) Akar (10c²b² −10c²ab+c²a² +9a²b² −18ab³ +9b⁴ +c⁴) = (1/2)PO = (3/4)PO

OQ = PO – PQ = PO - (2/3)OQ = (1/3) OQ

RQ = PO – OQ = PO - (1/3)OQ = (2/3) OQ

Sehingga PR : RQ : OQ = 3 : 1 : 2

Selamat mencoba…….