EUCLID dan KONSEP KESEJAJARAN

Sistem axiomatic adalah suatu sistem formal dari pikiran yang diatur oleh aturan-aturan logika yang dioperasikan pada istilah-istilah primitif, istilah terdefinisi, axioma, dan teorema. Dalam menciptakan Elemen, Euclid (325 – 265 BC) menciptakan sistem axiomatic yang pertama dan yang paling lama bertahan. Para ahli logika dan matematika sekarang ini tahu bahwa Euclid mungkin menggunakan instuisinya bahwa:

axioma-axioma harus konsisten dan independen satu terhadap yang lain.

Definisi. Kumpulan-kumpulan axioma-axioma yang tidak kontradiksi satu terhadap yang lain disebut konsistent.

Definisi: Kumpulan-kumpulan axioma dinamakan independen, jika mereka tidak dapat diturunkan satu dari yang lainnya.

Dalam membandingkan isi dan bahasa pada axioma-axioma Euclid, empat axioma yang pertama itu adalah langsung, tepat, dan mudah dibaca. Axioma kelima nampaknya berbeda. Beberapa orang terpelajar yakin bahwa perbedaan ini mencerminkan upaya perjuangan orang-orang Yunani kuno dengan konsep kesejajaran dan representasinya yang formal. Menurut Proclus ( 411- 486 AD), seorang sumber utama mengenai informasi tentang Euclid, dengan segera ada upaya-upaya untuk menunjukkan bahwa axioma kelima itu secara logis bergantung pada 4 axioma pertama, yaitu harus membuktikannya. Salah satu dari alasan-alasan yang mungkin adalah bahwa axioma kelima tidak digunakan dalam membuktikan 28 proposisi pertama dalam Buku I Element. Selama berabad-abad, sederetan para ahli geometri menawarkan “bukti-bukti” mengenai axioma kelima. Dalam setiap hal, argumen-argumen yang diperlihatkan itu ada cacatnya. Tetapi, tidak berarti usaha ini tidak berguna. Misalnya, masing-masing statemen berikut ini secara logis ekivalen dengan axioma kelima Euclid, dengan mengandalkan axoma-axioma lainnya:

1. Melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis yang diketahui, dapat dibuat tepat satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui ( John Playfair, 1748 – 1819).

2. Jumlah sudut-sudut dalam setiap segitiga sama dengan dua sudut siku-siku

3. Terdapat sepasang segitiga yang sebangun yang tidak kongruen.

4. Terdapat sepasang garis yang dimanapun berjarak sama satu terhadap yang lain.

5. Jika tiga sudut dalam suatu segiempat merupakan sudut-sudut siku-siku, maka sudut keempat juga adalah sudut siku-siku.

6. Jika suatu garis memotong satu dari dua garis sejajar, maka ia juga akan memotong garis yang lainnya

7. Garis-garis yang masing-masing sejajar pada suatu garis, adalah juga sejajar satu terhadap yang lain.

8. Dua garis yang saling berpotongan tidak dapat sejajar pada garis yang sama.

Jika salah satu dari pernyataan-pernyataan ini dimasukkan menggantikan axioma kelima, dan keempat axioma lainnya tetap dipertahankan, maka kita akan memperoleh geometri yang sama. Mendemonstrasikan fakta ini tidak memerlukan diproduksinya semua teorema dari kumpulan axioma alternatif. Seseorang hanya perlu untuk menurunkan axioma kelima Euclid ini dari kelompok axioma alternative.