Kelipatan Persekutuan Terkecil

Kelipatan Persekutuan Terkecil

Definisi: Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat yang tidak nol a dan b yang dinotasikan dengan kpk(a,b) adalah bilangan positif m yang memenuhi berikut ini:

1) a|m dan b|m

2) Jika a|c dan b|c dengan c > 0 maka m ≤ c

Masalah: Untuk bilangan a dan b maka berlaku ppb(a,b).kpk(a,b) = ab

 Bukti:

Misalkan ppb(a,b) = d, maka a = dr dan b = ds untuk suatu bilangan bulat r dan s.

Kemudian misalkan m = ab/d , maka dengan mensubstitusikan nilai a dan b diatas diperoleh,

m = ab/d = ads/d = as

m = drb/d = ads/d = dr

maka m = as = dr atau dengan kata lain a|m dan b|m sehingga m merupakan kelipatan persekutuan dari a dan b.

Selanjutnya misalkan c adalah sembarang bilangan positif yang merupakan kelipatan persekutuan dari a dan b (a|c dan b|c ), maka terdapat u dan v sehingga c =au = bv. Kemudian, seperti yang telah diketahui bahwa ppb(a,b) = d, maka terdapat bilangan bulat x dan y sehingga d = ax + by. Hal ini mengakibatkan:

Pernyataan ini menyatakan bahwa m|c dan dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa m ≤ c . Dengan demikian menurut definisi diatas m = kpk(a,b) , sehingga:

 Note : ppb(a,b) adalah pembagi persekutuan terbesar atau FPB dari a dan b.